正式的法律

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进入数学,一个正式的法律是(粗略地说)一个形式幂级数就好像它是一个产品李群他们介绍美国广 (一千九百四十六)。术语正式群体有时意味着正式组法一样,有时是一个概括。正式群体之间的中间(或李群代数群)和李代数他们是在用代数数论代数拓扑

定义编辑]

一维形式群法则在一个交换环 R是一个幂级数FXY)系数R,这样

  1. f(<i>x</i>,<i>y</i>)= <i>X</i> + <i>Y</i> +高等学历
  2. F(<i>x</i>,<i>f</i>(<i>y</i>,<i>z</i>))= <i>F</i>(<i>F</i>(<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>))(关联性)。

最简单的例子是<b>添加剂形式群法则</b><i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)= <i>x</i> + <i>y</i>。这个概念的定义是,<i>F</i>应该像形式幂级数展开的产品一个Lie群,在这里我们选择坐标这样身份的李群的起源。

更一般地,一个N维形式群法则是一家集N幂级数FIXX,…,XNYY,…,YN)在2N变量,如

  1. f(<b>x</b>,<b>y</b>)= <b>X</b> + <b>Y</b> +高等学历
  2. F(<b>x</b>,<b>f</b>(<b>y</b>,<b>z</b>))= <b>F</b>(<b>F</b>(<b>x</b>,<b>y</b>,<b>z</b>))

我们在那里写F为(F,…,FN),X为(X,…,XN),等等。

正式群体的法律被称为<b>交换</b>如果<b>f</b>(<b>x</b>,<b>y</b>)= <b>F</b>(<b>Y</b>,<b>X</b>)。

道具。如果R扭自由的话,任何一维正式组法R是交换。
<b>证明</b>。扭转自由给我们的指数和对数允许我们写<i>f</i>为<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)= exp(log(<i>x</i>)+ log(<i>Y</i>))。

有没有必要为一个公理类似反团体的存在,这就跟自动从一个正式的团体法的定义。换句话说,我们总是能找到一个(唯一的)电源系列<b>G</b>,<b>F</b>(<b>x</b>,<b>g</b>(<b>x</b>))= 0。

从一个正式的法律的一个<b>同态</b><b>f</b>尺寸<i>M</i>到一个正式的团体法<b>G</b>尺寸<i>N</i>是一个集合的幂级数在<i>M</i> <i>N</i> <b>F</b>变量,如

G(<b>F</b>(<b>X</b>),<b>F</b>(<b>y</b>))= <b>F</b>(<b>F</b>(<b>x</b>,<b>y</b>))。

一个同态逆称为<b>同构</b>,和被称为一个<b>严格的同构</b>此外如果<b>f</b>(<b>x</b>)= <b>X</b> +高等学历。两组正式法律与同构之间,他们基本上是相同的;它们的区别仅由一个“坐标变换”。

实例编辑]

  • 该<b>添加剂形式群法则</b>了
  • 的<b>乘法形式群法则</b>了

这条规则可以理解如下。产品G在(的)乘法群环R给出了GB)=AB如果我们改变坐标”将使0的身份= 1 + XB= 1 + Y,和G= 1 + F然后我们发现,FX, Y)=X + Y + XY在合理的数字,有一个同构的添加剂形式群法则的乘法,给出的exp(<i>x</i>) − 1一般的交换环上R有没有这样的同态定义它需要非整数有理数的加法和乘法正式群体通常不同构。

  • 更一般地,我们可以构建一个三维形式群法则N从任何代数群或李群尺寸N,以协调在身份和写下的产品图的形式幂级数展开。在这样的加法和乘法代数群得到了加法和乘法形式群法则。本文的另一个重要的特殊情况是正式群体(法律)的椭圆曲线(或阿贝尔簇)。
  • FXY)=(X+Y)/(1+XY)是一个正式的团体法来自为双曲正切函数的加法公式:tanh(X + Y)=F(tanh(X),双曲正切(Y)),也是在速度合成公式狭义相对论(与光等于1的速度)。
  • 是一个正式的组法Z[ 1/2 ]发现欧拉在形式上,加法公式对于一个椭圆积分思特里克兰德):

李代数编辑]

任何N维形式群法则了N维李代数上的环R,在二次部分术语定义F的正式组法。

XY] =FXY)−FYX

从李群与代数群的李代数可以分解成一个函子从李群正式组规律自然函子,其次是以正规群的Lie代数:

李群→正式群体的法律→李代数

过零特征域,正式的法律本质上是相同的有限维李代数:更确切地说,从有限维组正式法律有限维李代数函子是一个等价类。需要的引证]在非零特征域,正式的法律并不等同于李代数。事实上,在这种情况下,这是众所周知的,从代数集团通过其李代数经常抛出了太多的信息,但通过相反的形式群法则经常保持足够的信息。所以在一定意义上正式的法律是“权利”代替李代数特征P > 0。

一种交换形式群法则对数编辑]

如果<b>F</b>是一个交换的<i>N</i>维形式群法则的一个交换<b>Q</b>代数<i>R</i>,然后严格同构的添加剂形式群法则。换句话说,有一个严格的同构<b>F</b>从添加剂正式组<b>F</b>,称为<b>对数</b>的<b>F</b>,所以

F(<b>F</b>(<b>x</b>,<b>y</b>))= <b>f</b>(<b>x</b>)+ <b>F</b>(<b>Y</b>)

实例:

  • 对数<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i> )= <i>X</i> + <i>Y</i>  是<i>f</i>(<i>x</i>)= <i>X</i>。
  • 对数<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i> )= <i>X</i> + <i>Y</i> +    <i>XY</i>是<i>f</i>(<i>x</i>)= log(1 + <i>X</i>),因为日志(1 + <i>X</i> + <i>Y</i>    + <i>XY</i>)= log(1 + <i>X</i>) + 日志(1 + <i>Y</i>)。

如果R不包含有理数,一个地图F可以通过扩展标量RQ,但这将一切零R具有积极的特性。正式的法律环R常常写下他们的对数作为系数的幂级数构造RQ,然后证明系数相应的正式组RQ其实在于R主动性工作时,一个典型的替代R具有混合特征环具有一个满射R,如环WR)的Witt向量,降低了R最后.

一个正式的法律形式群环编辑]

一个正式的法律形式群环是一个类似于余交换Hopf代数群环一组的泛包络代数一个李代数,它们也都是余交换Hopf代数。在cocommutative Hopf algebras将军的行为很像组。

为简单起见,我们描述的一维的情况;高维的情形相似,除了符号变得混乱。

假设F是一个(一维)正式组法R它的正式的群环(也叫它超代数或其协变的代数)是余交换Hopf代数 H构造如下。

  • 作为一个R模块,H免费提供一个基础=D(0)D(一)D(2),…
  • 的副产品Δ给出ΔD(<i>N</i>)=∑D(<i>我</i>) ⊗ D(<i>N</i>−<i>我</i>)(这是余代数的对偶形式幂级数环)。
  • counitη的系数给出D(0)
  • 身份是1 =D(0)
  • 对极SD(<i>N</i>)对(−1)ND(<i>N</i>)
  • 系数D(1)在产品D(我)D(<i>J</i>)是系数XIYJ进入FX, Y)。

反之,给定一个Hopf代数的代数结构的上述问题,我们可以从法律正式组<i>F</i>。所以一维组正式法律本质上是相同的Hopf代数的代数结构是上面给出的。

正式的法律为函子编辑]

给定一个N维形式群法则F结束R一个交换R代数S,我们可以形成一个组FS)为标的设定NN哪里N是集幂零元素S该产品是由使用F多元素NN;的一点是,所有的形式幂级数的收敛,因为他们现在正被应用于幂零元素,所以只有有限数量的非零项。这使得F函子从交换R代数S组。

我们可以扩展的定义FS)某些拓扑R代数。特别是,如果S是离散的逆极限R代数,我们可以定义FS)是相应的群的逆极限。例如,这允许我们定义FZP)值在P进制数。

这组值函子<b>F</b>也可以用正式的群环<i>H</i>、<b>F</b>。为简单起见,我们假设<b>f</b>是一维的;一般的情况是类似的。任何余交换Hopf代数,一元<i>G</i>称为<b>组一样,</b>如果ΔG = G ⊗ G和εg = 1,和组元素组成一个小组根据乘法。在本案的Hopf代数的一个正式的法律在一环,组元素是一样的形式

D(0) + D(1)X + D(2)X + …

为<i>幂零</i>元素<i>x</i>。特别是我们可以识别组元素<i>的</i><i>H</i>⊗与幂零元素<i>的</i>,和群体结构的组像元素<i>的</i><i>H</i>⊗然后确定与群体结构对<b>F</b>(<i>S</i>)。

的高度正式组法编辑]

假设F是一个同态的一维形式群法则一场特征之间P > 0。然后F为零,或在其幂级数展开的第一个非零项对于一些非负整数H,称为高度同态的F的高度的零同态的定义是∞。

的<b>高度</b>11维形式群法则在一场特征<i>P</i> > 0定义为高度的<i>增殖由P</i>图。

21维组正式法律在一个代数闭域的特征<i>p</i> > 0是同构当且仅当它们有相同的高度,和高度可任意正整数或∞。

实例:

  • 添加剂形式群法则<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i> )= <i>X</i> + <i>Y</i>  具有高度∞,为<i>P</i>次幂图0。
  • 乘法形式群法则FX, Y)=X + Y + XY具有高度的1,其P次方图(1 + XP − 1 =XP
  • 椭圆曲线的形式群法高一个或两个,取决于曲线是普通的或奇异supersingularity可以消失的爱森斯坦系列检测

拉扎德环编辑]

有一个普遍的交换的一维形式群法则普遍交换环来定义如下。我们让

f(<i>x</i>,<i>y</i>)

X+YC<i>我</i>,<i>J</i> XIYJ

对于元

C<i>我</i>,<i>J</i>

我们定义了通用环R是交换环的生成元C<i>我</i>,<i>J</i>的关系,是被迫的关联性和可交换性的法律形式群法则。更多或更少的定义、环R具有通用性:

任何交换环<i>的</i>,一维的正式群体规律<i>的</i>对应环同态从<i>R</i>到<i>S</i> 。

交换环R建在被称为Lazard的通用环乍一看,这似乎是令人难以置信的复杂:在发电机的关系很乱。然而,Lazard证明它有一个非常简单的结构:它是一个多项式环(在整数)在度2, 4, 6发电机,…(在哪里C<i>我</i>,<i>J</i>有2度(I + J − 1))。丹尼尔·奎伦证明了数圈复配边自然是同构的分级环Lazard的通用环,解释不寻常的分级。

正式群体编辑]

正式群体是一个组对象在类正式方案

  • 如果从一个函子Artin代数组是左正,则表示(G是一个正式的组分的函子。(一个函子左准确性相当于通勤有限射影极限)。
  • 如果是一个组方案然后,在认同G正式完成,有一个正式的群体结构。
  • 一个光滑组方案是同构的有些人把正式组方案光滑的如果相反。
  • <i>正式的平滑性</i>资产存在的变形和电梯可以申请正式的方案,比点。一个光滑的正式组方案是正式组方案的一种特殊情况。
  • 给定一个光滑的正式群体,可以通过选择一个单值化组的部分建立一个正式的组法和场。
  • 的(非严格)同构形式群法则之间参数的变化引起的弥补坐标的变化对正式群体的元素组。

正式群体与正式群体的法律也可以定义在任意计划,而不仅仅是交换环上或领域,家庭可以通过从基础地图分为参数化对象。

组正式法律的模空间是一个不相交的无限维仿射空间,其成分是参数化的尺寸,其要点是参数化的幂级数的容许系数F相应的模量堆栈光滑的正式群体是由坐标变换无穷维广群的典型动作的商空间。

在一个代数闭域,一维正式群体的方子是一个点(特征零)或无限的链stacky点参数化的高度。在特征为零,每个点的闭包包含所有点的高度。这种差异使正式群体正和混合特性丰富的几何理论,以Steenrod代数的关系,P可分割的群体,dieudonné理论和伽罗瓦表示。例如,塞尔Tate理论意味着一组方案的变形是由那些其正式群体的强烈控制,特别是在案件奇异的阿贝尔品种超奇异椭圆曲线,这种控制是完整的,这是从特征为零的情况正式组没有变形完全不同。

一个正式的团体有时定义为余交换 Hopf代数(通常有一些额外的条件,如被指或连接)。[ 1 ]这或多或少是双重的观念之上。在顺利的情况下,选择坐标相当于以正式组环的一个杰出的基础。

有些作者使用术语<i>正式群体</i>是<i>正式群体法</i>。

鲁宾–泰特正式的法律编辑]

我们让ZP是环P进制整数。这个鲁宾–泰特正式组法是独特的(一维)正式组法F这样,EX)=二甲苯 + XP是自同态F,换句话说

通常我们可以让E有电源系列等EX)=二甲苯 + 较高程度 条款EX)=XP MOD P选择不同的集团的所有法律E满足这些条件的严格的同构。[ 2 ]

每个元素进入ZP这是一个独特的自同态F鲁宾的–泰特正式组法等FX)=斧头 + 较高程度 条款。这给了一个环形的行动ZP在鲁宾–泰特正式组法。

有一个类似的建设ZP任何完备离散赋值环的有限替代剩余类域[ 3 ]

这个建筑是由鲁宾和泰特美术馆(1965)分离,在一个成功的努力局部场对经典理论的一部分复数乘法属于椭圆函数这也是一个主要成分的一些方法局部类域论[ 4 ]

参见编辑]

推荐信编辑]

  1. ^ Underwood,Robert G.(2011)。Hopf algebras简介柏林施普林格出版社 121 P.。国际标准书号 978-0-387-72765-3ZBL 一千二百三十四点一六零二二 
  2. ^ Manin,于。I.;Panchishkin,A. A.(2007)。现代数字理论介绍数学科学百科全书。四十九(第二版)。 168 P.。国际标准书号 978-3-540-20364-3ISSN 0938-0396ZBL 一千零七十九点一一零零二 
  3. ^ 科赫,赫尔穆特(1997)。代数数论Encycl。数学SCI。六十二(第一版第二次印刷)。施普林格出版社第 62–63。国际标准书号 3-540-63003-1ZBL 八百一十九点一一零四四 
  4. ^ 例如Serre,Jean Pierre(1967)。”局部类域论”。进入Cassels,J.W.S.öFr hlich,阿尔布雷克特代数数论学术出版社。第 128–161。ZBL 一百五十三点零七四零三 Hazewinkel,Michiel(1975)。”局部类域论是容易的”。数学的发展十八(2):148–181。DOI10.1016 / 0001-8708(75)90156-5ZBL 三百一十二点一二零二二 「Kenkichi(1986)。局部类域论牛津数学专著。出版社牛津出版社。国际标准书号 978-0-19-504030-2先生 0863740ZBL 六百零四点一二零一四