模空间

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进入代数几何,一个模空间是一个几何空间(通常是一个方案或一个代数栈)的点代表了一些固定的一种代数几何的对象,或同构类这样的对象。这样的空间经常出现的分类问题的解决方案:如果一个能显示一系列有趣的物体(例如,光滑代数曲线一个固定的)可以给出一个几何空间的结构,然后可以参数化对象引入坐标的空间。在这样的背景下,术语“模量”和“参数”同义;模空间首先被理解为空间的参数,而不是空间的物体。

动力编辑]

模空间的几何分类问题的解空间。这是一个模空间的点对应的几何问题的解决方案。在这里,不同的解决方案是确定的如果他们是同构的(即几何相同)。模空间可以被认为是对问题的参数的通用空间。例如,考虑在欧氏平面上的同余发现所有圆的问题。任何圈子可以通过给三点独特的描述,但许多不同组的三点给同一圈:对应的是多对一。然而,界是唯一的参数给他们的中心和半径:这是个真正的参数和一个正实参数。因为我们是唯一感兴趣的圈子”到和谐”,我们确定具有不同的中心,但相同半径的圆,而孤独的半径足以参数设定的兴趣。模空间因此正实数

模空间经常进行几何和拓扑结构以及自然。在圈子里,例如模空间不只是一个抽象的集合,但半径的差的绝对值定义米制的确定当两界“关闭”。模空间的几何结构局部告诉我们当一个几何分类问题的两种解决方案是“关闭”,但一般的模空间也有一个复杂的整体结构以及。

构建PR通过改变 ≤ θ <0) π或作为一个商空间S

例如,考虑如何描述线集合R相交的起源。我们想给每个线l这个家庭的数量,可以唯一地标识一模。这样一个数量的一个例子是正面的角度θ(l)0≤θ<π弧度。线的设置l所以参数是已知的PR)和被称为实射影直线

我们也可以描述线集合R相交的起源的一个拓扑结构。即:考虑SR注意到每一点SS给出了一个线lS)在收集(相交的起源S)。然而,这张地图是二对一,所以我们要识别S~−S屈服PR)≅S/ ~在这个空间的拓扑结构是商拓扑诱导商图 SPR)。

因此,当我们考虑PR)作为一个相交线的模空间的起源R,我们捕捉其中的家庭成员的方式(在这种情况下,线)可以调节通过连续改变0 ≤ θ < π。

基本的例子编辑]

射影空间和grassmannians编辑]

这个实射影空间 PN是一个模空间参数化行空间Rn + 1它通过原点。同样,复射影空间是所有复杂的线的空间Cn + 1通过原点。

更一般的格拉斯曼 GKv一个向量空间)v在一场F是所有的模空间K维线性空间v

食物品种编辑]

这个食物品种 食物(D,P)是一个射影代数簇的参数化程度D曲线P它是构成如下。C是一个曲线的程度D进入P,然后再考虑所有的线P相交曲线C这是一个程度D除数DC进入G(2, 4),行在格拉斯曼P什么时候C的变化,结合CDC,我们获得学位的参数空间D曲线度的空间的一个子集D的Grassmannian因子:食物(D,P)。

希尔伯特方案编辑]

这个希尔伯特方案 hilbX)是一个模方案。每一个封闭的点hilbX)对应于一个固定的方案闭子概形X,和每一个闭子概形是由这样一个点表示。

定义编辑]

有几个相关概念的东西,我们可以称之为模空间。所有这些定义描述一个不同的概念,这意味着什么的一点空间,<i>M</i>代表几何对象。

精细的模空间编辑]

这是标准的概念。试探性的,如果我们有一个空间M这一点MM对应于代数几何对象UM,然后我们可以把这些对象为同义反复家庭U结束M(例如,GrassmannianGKv)进行排名K束的纤维在任何点[l∊]GKv)是简单的线性子空间lv。)M被称为基地空间家庭的U我们说这样的一个家庭通用如果家庭代数几何对象T在任何底部空间B是的回调属于U在一个独特的地图BM一个好的模空间是一个空间M这是一个普遍的家庭基础。

更确切地说,假设我们有一个函子F从方案集,分配方案B基对象适合所有家庭的设置B一个空间M是一个好的模空间为函子F如果M corepresents F,即有一个自然的同构τ :F霍姆(−,M),在那里霍姆(−,M)是点的函子。这意味着,M有普遍的家庭;这个家庭是家庭M与身份相对应的地图M霍姆MM)。

粗模空间编辑]

精细的模空间是可取的,但他们并不总是存在的,往往很难建立,所以数学家有时使用较弱的概念,一个粗模空间的想法。一个空间M是一个粗模空间为函子F如果存在一个自然的转变τ :F霍姆(−,M)和τ是普遍的自然间的转换。更具体地说,M是一个粗模空间F如果家庭T在一个基地B产生一个地图φT :BM任何两个物体vW(视为一点家庭)对应于同一点M当且仅当vW是同构的。因此,M是一个空间,有可能出现在一个家庭中的每一个对象的一个点,其几何反映对象的方式可以在不同的家庭。注意,然而,一个粗模空间不需携带任何家庭的合适的对象,更不用说一个通用的。

换句话说,一个好的模空间包括<i>两</i>底座空间<i>M</i>和普遍的家庭<i>你</i>→<i>m</i>,而粗模空间只有基地空间<i>M</i>。

模量堆栈编辑]

它是经常的情况下,有趣的几何对象都配备了大量的自然自同构这尤其使存在一个精细模空间是不可能的(直观的想法是,如果l是一些几何对象,琐碎的家庭l×[0,1]可以做成一个扭曲的家庭圆上S通过识别l×{ 0 }与l×{一}通过一个平凡的同构。现在,如果一个好的模空间X存在,地图SX不应该是恒定的,但必须恒定在任何适当的开集的琐事),一个能偶尔获得粗模空间。然而,这种方法是不理想的,因为这样的空间是保证存在,经常奇异当他们存在,和小姐了解对象将一些非平凡的家庭。

一个更复杂的方法是通过记忆,丰富的同构分类。更确切地说,在任何基础B可以考虑家庭的范畴B只有作为家庭之间的同构映射。一个再考虑纤维类分配给任何空间B在家庭的广群B使用这些类纤维在胚描述一个模量问题回到Grothendieck(1960/61)。他们一般不能通过计划或代表代数空间,但在许多情况下,他们有一种天然的结构代数栈

代数栈和应用中出现的问题分析模量涅芒福德(1969)作为一种工具来证明的(粗)的不可约性曲线模空间一个给定的属。代数栈的语言本质上提供了一个系统的方式来查看纤维范畴构成的弹性模量问题作为一个“空间”,和模量堆栈许多模量问题更好的表现(如光滑)比相应的粗模空间。

进一步的例子编辑]

模量曲线编辑]

模量堆栈属光滑射影曲线族的分类G,连同他们的同构。什么时候G> 1,这堆可以紧凑通过添加新的“边界”点对应于稳定节点曲线(连同他们的同构)。如果只有一个有限群的自同构的曲线是稳定的。而堆栈的表示两模协议栈进行曲线普遍家庭。你也可以定义粗模空间较平滑或稳定曲线同构类。这些粗模空间实际上是在模栈的概念被发明了。事实上,一个模栈的想法是由涅和芒福德试图证明粗模空间的射影发明。近年来,它已成为明显的,曲线的叠加实际上是更根本的目标。

以上两栈尺寸3G−3;因此,一个稳定的结点曲线完全可以通过选择指定的值3G−3参数,当G> 1。在下属,必须考虑的自同构的光滑的家庭的存在,减去其数。这正是一个复杂的曲线的亏格为零,黎曼球,其群同构是PGL(2)。因此,尺寸

暗(属零的曲线空间)−暗淡(自同构群)= 0−暗淡(PGL(2)−)= 3。

同样,在属的1,有一个曲线的一维空间,但每一个这样的曲线具有自同构一维组。因此,堆栈尺寸0。粗模空间尺寸3G−3作为栈时G> 1因为属G>1的曲线只有一个有限群的自同构即暗(自同构群)= 0。最终,属零粗模空间的维数为零,和属,具有维。

你也可以考虑属模栈丰富的问题G节点曲线N标记点。这种明显的曲线称为稳定如果曲线同构固定标志点的亚群是有限的。得到的模层光滑(或稳定)属G曲线N标记点表示(或),并有3个维度G−3 +N

一个特别感兴趣的是模栈属1条曲线的一个标记点。这是堆椭圆曲线,是研究较多的自然家园标准化的形式,这是在这堆纯节束。

模量的品种编辑]

在高维代数簇的弹性模量,是建构和学习更难。例如,对椭圆曲线上面讨论的模空间的高维类似物是阿贝尔品种的模空间。这是问题的根本西格尔模形式理论参见志村簇

向量丛模量编辑]

另一个重要的模量的问题是了解几何(各种substacks模量堆栈空间的)NX)等级N 纤维丛在一个固定的代数簇 X这堆被研究的最多的时候X是一维的,特别是当n等于1。在这种情况下,粗模空间是皮卡德方案,像曲线模空间,在堆栈的发明研究。最后,当束等级1和零度的粗模空间的研究的研究雅可比簇

在应用程序物理,向量丛的数模和模数密切相关的问题主要G-束已被发现是重要的规范理论需要的引证]

构建模空间方法编辑]

在模函子条款模量问题和模空间的定义现代制剂(或更一般的类纤维进入群胚),和空间(几乎)的代表,可以追溯到群(1960/61),他在其中所描述的总体框架、方法和主要问题üTeichm ller空间在复杂的解析几何为例。在特定的谈判描述首先通过构造模空间的一般方法硬化在考虑弹性模量问题。

更确切地说,对物体分类的非平凡自同构的存在使得它不可能有一个好的模空间。然而,它往往是可能考虑修改分类的原始对象连同额外数据模的问题,在这样一种方式,身份是唯一的自同构的尊重也额外的数据选择。用一个合适的硬化数据选择、修正模量问题将有一个(好)的模空间T,经常被描述为一个合适的子模式希尔伯特方案“方案刚性的数据并选择使它对应于一个代数结构组主丛G这样就可以搬回原来的僵化问题,以商的作用G,并构建了模空间的问题是找到一个方案(或更一般的空间),(在一个适当的强)的商T/G属于T的行动G过去一般的问题不承认的解决方案;然而,它是由开创性的解决几何不变量理论(GIT),由大卫·曼福德1965,这表明在适当的条件下商确实存在。

看看这可能工作,考虑属光滑曲线的参数化问题G> 2。一个光滑的曲线在一起完整的线性系统D> 2G相当于一个封闭的一维概型的射影空间P−G D因此,模空间流畅的曲线和线性系统(满足一定条件)可以嵌入在一个足够高维射影空间的希尔伯特方案。这个轨迹H在希尔伯特计划的行动(PGLN)和线性系统的元素;因此,光滑曲线的模空间,然后回收商H由一般射影线性群。

另一个通用的方法主要是与米迦勒的艺术这里的想法是开始的任何类对象进行分类,并研究其形变理论这意味着首先构建无穷小变形,然后吸引prorepresentability定理把这些组合成一个对象在一个正式基地下一个请求格罗滕迪克 正式的存在性定理提供所需的种在一个基地是一个完整的局部环的对象。这个对象可以近似地通过阿廷的逼近定理由一个对象定义了一个有限生成的环。这个这一环可以看成是给人一种所需的模空间坐标图。粘合在一起的足够的这些图表,我们可以覆盖的空间,但地图从我们的联合谱的模空间一般会多对一。因此我们定义一个等价关系在前两点是等价的;基本上,如果在每个对象的同构。这给出了一个和一个等价关系的方案,这是足以定义一个代数空间(实际上是一个代数栈如果我们小心)如果不是一个方案。

在物理学编辑]

模空间的术语有时被用来在物理特别提到的模空间真空期望值一组标量场,或可能的模空间字符串的背景

模空间也出现在物理学上同调理论,其中一个可以使用费恩曼的路径积分计算相交数不同代数的模空间。

推荐信编辑]

外部链接编辑]