纤维类

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纤维类(或纤维类)是抽象的实体数学用来提供一个通用框架下降理论他们正式的各种情况几何代数在哪儿逆象(或回调)等物品纤维丛可以定义。作为一个例子,每个拓扑空间有向量的向量空间上的分类,并为每一个连续映射从拓扑空间X另一个拓扑空间Y是相关的回调 函子以束Y束上X纤维类正式由这些范畴和函子的逆图像系统。类似的设置出现在数学中的各种形式,特别是在代数几何,即语境纤维范畴最初出现。纤维类用于定义,这是纤维类(在现场)“血统”。纤维化范畴语义也起着重要的作用类型理论,特别是依赖型理论。

纤维种类介绍亚历山大·格罗滕迪克 (一千九百五十九一千九百七十一),并开发了更详细的让·纪劳 (一千九百六十四一千九百七十一)。

背景和动机编辑]

有许多的例子拓扑几何在某些类型的对象被认为是存在的打开(放)在上面结束一些潜在的基地空间经典的例子包括向量丛,主丛滑轮在拓扑空间。另一个例子是由“家庭”代数簇parametrised另一品种。典型的这些情况是一个合适的类型的地图 FXY基之间的空间,有一个相应的逆象(也叫拉回来)操作F*考虑的对象定义Y在同一类型的对象X事实确实如此,在上面的例子中:例如,一个向量丛的逆象E打开(放)Y是一个向量丛F*E)上X

此外,它是通常的情况下,被认为是“基本空间”形成一个类的对象,或者说有地图(态射)他们之间。在这样的情况下,逆图像操作往往与对象之间的这些地图组成兼容,或在更多的技术术语是函子再次,这种情况在上述例子。

然而,通常的情况是,如果<i>G</i>:<i>Y</i>→<i>Z</i>是另外一个图,图像逆函子不<i>严格</i>符合由地图:如果<i>Z</i>是一个对象<i>在</i><i>Z</i>(一个向量丛,说),它可能是好的

相反,这些逆图像只是自然地 同构这一些“冗余”的逆像系统的原因,一些微妙的问题出现的介绍,而正是这种设置,纤维范畴化。

纤维类的主要应用是在下降理论,关注广大推广“粘合”用于拓扑技术。为了支持足够普遍下降理论应用于非平凡的情况下,代数几何中的纤维类的定义是相当普遍的,抽象的。然而,背后的直觉是很简单当牢记上述基本例子。

正式的定义编辑]

有纤维类两本质上是相同的技术定义,两者将在下面描述。在这一部分中所有的讨论都忽略了集合理论有关问题的“大”类。讨论可以完全严格的限制,例如,关注小类或使用宇宙

笛卡尔的态射和函子编辑]

如果φ:FE是一个函子类别S是一个对象E,然后属于F由这些对象X这φ(X)=S这些态射M满足φ(M)= IDS,称为纤维类(或纤维在S,和记FS的态射FS被称为s-morphisms,和XY对象FS,集S-射用坎SXY)。在一个对象或一个态射φ图像F被称为投影(由φ)。如果f是一个态射E,那么这些态射F该项目F被称为f-morphisms,和组F-对象间的态射XY进入F用坎FXY)。φ函子:FE也叫e-category或者说,使F为一个E类别或类别结束 E一个E函子从E类φ:FE一个E类ψ:GE是一个函子α:FG这样,ψ∘α=φ。E类别形成一个自然的方式2类,与1-morphisms被E- 2-morphisms函子,和自然之间的转换E-函子其成分有纤维。

M:→射<i>X</i> <i>Y</i>在<i>F</i>称为<i>φ-笛卡尔</i>(或<i>直角</i>)如果满足以下条件:

如果<i>F</i>:<i>T</i>→投影<i>的</i>是<i>M</i>,如果N:<i>Z</i>→<i>Y</i>是<i>F</i> -射,然后有<i>精确的一个</i><i>T</i> -射<i>一</i>:<i>Z</i>→<i>x</i>,<i>n</i> = <i>m∘一</i>。

笛卡尔射<i>M</i>:<i>X</i>→<i>Y</i>被称为<i>逆图像</i>的投影φ<i>F</i> =(<i>M</i>);对象<i>x</i>称为<i>逆图像</i>的<i>Y</i><i>的F</i>。

一种纤维范畴的笛卡儿的态射FS正是同构的FS在一般情况下可以有不止一个直角射投影到一个给定的态射FTS,可能具有不同的来源;因此可以有一个以上的逆象的一个给定的对象Y进入FSF然而,这是一个直接的后果,这样的定义两图像中反同构FT

一个E函子的两E一类被称为笛卡尔函子如果需要笛卡尔直角射射。笛卡尔函子之间的两E类别FG形成一类车EFG),与自然变换为态射。一个特殊的情况是由考虑E作为一个E通过身份函子范畴:然后从笛卡尔函子E一个E多类别F被称为直角截面因此一个直角部分包括选择一个对象XS进入FS对于每个对象S进入E,并为每个态射FTS选择一个图像逆MFXTXS一个直角截面是一个(严格)的对象的逆图像兼容系统E直角部分的范畴F是用

在重要的情况下,E有一个终端对象 E(因此,特别是当E是一个主题或类别Es属于与目标S进入E)的函子

完全忠实(引理5.7的吉罗(1964年))。

纤维类和裂解的类别编辑]

技术上最灵活、经济的纤维类别的定义是基于笛卡尔的态射的概念。它是从一个定义等价分裂,后者的定义实际上是原来在Grothendieck(1959);在笛卡尔的态射的定义中引入了Grothendieck(1971)1960–1961。

一个<i>E</i>类φ:<i>F</i>→<i>E</i>是<i>纤维类</i>(或<i>纤维e-category</i>,或<i>类纤维在E)</i>如果每个态射<i>f</i>的值域是<i>E</i>的范围内至少有一个反投影图像,而且组成<i>M∘n</i>的任意两直角射<i>m</i>,<i>n</i>是在<i>F</i>总是直角。换句话说,一个<i>E</i>类是纤维类如逆图像总是存在(态射的codomains在方位投影)和<i>传递</i>。

如果E有一个终端对象E如果F以上是纤维E,然后从直角截面函子εFE在上一节结束的定义是范畴的等价而且满射在对象。

如果F是一种纤维E类,它始终是可能的,每个态射FTS进入E每个对象Y进入FS,选择(通过使用选择公理正是一个逆图像)MXY因此,选择的类态射称为卵裂与选定的态射称为运输的态射(分裂的)。化纤类与解理叫做切割类一个分裂为标准化如果运输范畴包括所有的身份F;这意味着身份映射逆图像作为身份的态射。显然,如果一个分裂的存在,它可以被选择为标准;我们将只考虑正常分裂的下面。

一个选择(标准化)为纤维断裂E多类别F指定每个态射FTS进入E,一个函子 F*FSFT研究对象:F*是由相应的运输射逆像,和态射的定义是笛卡儿的态射的通用性以自然的方式定义。手术将一个对象S属于E纤维类FS和一个态射F这个图像逆函子 F*几乎从反变函子E对范畴。然而,一般来说,没有上下班严格组成的态射。相反,如果FTSGUT具有多态性E,然后有一个同构的函子

这些同构满足以下两相容性:

  1. 连续三个态射和对象以下是:

它可以显示(见群(1971)8节),相反,任何集合函子F*FSFT与同构CF、G满足相容性,定义了一个切割的范畴。这些藏品的图像逆函子提供纤维范畴更直观的查看;事实上,正是在这种兼容的图像逆函子,纤维范畴进行了Grothendieck的条款(1959)。

灰色下文提出这些想法和概念之间的类比纤维化空间。

在的情况下,简化这些想法群胚,在布朗称下面的文件显示,从一个纤维化的胚得到精确序列的一个有用的家庭。

分裂和分裂纤维范畴编辑]

一个(正常)切割使得两运输态射的成分总是运输射称为分裂,和化纤类分为分裂(纤维)多类别从图像逆函子是一个分裂的条件意味着图像逆函子的态射对应组合的组成F、G进入E 等于对应于图像逆函子∘G F换句话说,兼容同构CF、G前面的部分是分类的所有身份。因此分裂E类的完全对应的真实的函子E对范畴。

与分裂,并不是所有的纤维类承认分裂。例如,看在下面

共射共纤维类笛卡尔编辑]

一个能将箭头的方向在上述定义到有限笛卡儿态射对应概念,有限纤维范畴和分裂有限纤维类(或共分类别)。更确切地说,如果φ:FE是一个函子,然后射MXY进入F被称为有限笛卡儿如果是直角的相反的函子φOPFOPEOP然后M也被称为直接成像Y一个直接的形象XF=φ(M)。联合纤维 E类是一个E类,每个态射的直接形象的存在E与直接的意象组合是一个直接的图像。联合切割和一个有限的分裂有类似的定义,对应直接图像函子而图像逆函子。

性能编辑]

纤维类和2类分类编辑]

这类纤维在一个固定的范畴E表2类小谎E),其中多类别两纤维范畴之间的态射FG定义为类车EFG)笛卡尔函子FG

同样的分类E表2类闪烁E(法国)猫é戈里scindéE),那里的态范畴的两个分类别之间FG是完整的子范畴ScinEFG)的E-函子FG由这些函子,变换各种运输态射F为运输态射G每一个这样的分e-categories射也是一个态射E纤维类,即ScinEFG⊂车)EFG)。

有一种天然的健忘2-functor<i>我</i>:<b>Scin</b>(<i>E</i>)→<b>FIB</b>(<i>E</i>),只是忘记了分裂。

存在等效分类别编辑]

虽然不是所有的纤维类承认分裂,每个纤维范畴实际上是相等的一个分裂的范畴。的确,有构建一个给定的纤维种类分二类典型方法的等效F结束E更确切地说,健忘的2-functorI闪烁E)→小谎E2-adjoint)承认的权利S和左2-adjointl(定理2.4.2和2.4.4吉罗1971),和SF)和lF)是两个相关的分类。伴随函子SF)→FFlF)都是直角和等价(同上。)。然而,尽管他们的作文SF)→lF)是等价的(类,实际上,它是纤维类)一般一个态射的分类。因此,两种结构不同,一般。前两结构分类别是用批判的方式建设中的堆栈一种纤维类别关联(特别是堆栈相关联的一个叠前)。

实例编辑]

  1. 函子<i>OB</i>:<b>猫</b>→<b>设置</b>,发送一个类对象的集合,是一个纤维化。一套<i>的</i>,纤维由类<i>C</i>与<i>Ob(C)=</i> S。直角箭头完全忠实函子。
  2. 类的箭任何类别:E这个类的箭一个(E)在E作为对象的同态E作为交换,和态射的广场E(更准确地说,从一个态射(FXT以()GYS)由态射(XY)和(BTS),BF = GA)。它以一个箭头,其目标是(函子E)为E一个对象类;S属于E纤维ES是类Es属于S-对象E,即一支箭E与目标S在笛卡尔的态射(E)正是笛卡尔广场进入E,从而(E)是纤维在E正是当纤维制品存在于E
  3. 纤维束:在范畴存在纤维制品上衣属于拓扑空间因此,由以前的例子(上衣)是纤维在上衣如果小谎是一个完整的子类别(上衣)组成的箭头表示投影图纤维束,然后小谎S是纤维束的类别S小谎以上是纤维上衣选择一个分裂等于选择普通图像逆(或拉回来)纤维束函子。
  4. 向量丛:在一个类似于前面的例子中的投影(PvS)实(复)纤维丛他们的基地空间形成一个类矢量R矢量C)在上衣(态射的向量丛的尊重向量空间的纤维结构)。上衣类也是纤维,和图像逆函子是普通拉回来向量丛函子。这些纤维类(非全部)类小谎
  5. 拓扑空间上的滑轮:图像逆函子滑轮使类SH(S)层的拓扑空间S为(切割)纤维类SH结束上衣这类纤维可以被描述为一个完整的子类(上衣)组成的层空间滑轮。与向量丛的滑轮,群组戒指形成纤维类上衣
  6. 滑轮上的应用:如果E是一个主题S是一个对象E,范畴ES属于S对象是一个主题,解释为滑轮上的范畴S如果FTS是一个态射E,图像逆函子F*可以描述如下:一捆F打开(放)ES和一个对象PUT进入ET一个有F*FU)=坎TUF*F)等于坎SF∘PF)=FU)。这些图像逆使类别ES分裂纤维类E这可以适用于特定的“大”主题上衣拓扑空间。
  7. 拟凝聚层方案拟凝聚层形成一个纤维类的类计划这是一个激励的例子为纤维类的定义。
  8. 纤维分类承认没有分裂:一组G可以被视为一个具有一个对象和要素的分类G为态射,射被群法作文。一组同态 FGH可以被看作是一个函数,使得GH多类别它可以检查这个设置在所有态射G笛卡尔;因此G以上是纤维H正是当F是满射。在这设置一个分裂是(集合论)区域属于F通勤严格的成分,或者说一段F这也是一个同态。但众所周知的是在群理论,这是不可能的(一个可以投影在非分裂组扩展)。
  9. 滑轮有限纤维类:的直接成像函子滑轮使滑轮上的拓扑空间的类别为有限纤维类。的图像直接及物性表明,这甚至是自然共分。

参见编辑]

推荐信编辑]

  • 吉劳德、冉(1964)。”我éthode de la山”。<i>我é米雷斯de la社会éTé数学ématique de法国</i>。2:八+ 150。 

外部链接编辑]