回调(范畴论)

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进入范畴理论,一支数学,一个回调(也被称为一个纤维制品纤维制品纤维产品笛卡尔广场)是限制一个图表由两态射 F :<i>X</i> → <i>Z</i>G : <i>Y</i> → <i>Z</i>与普通的取值范围。回调是经常写

P=X×Z Y

并配备了两个自然态射 → <i>X</i> <i>P</i>P → <i>Y</i>两态射的回调FG不需要存在,但如果它不,它本质上是唯一定义的两态射。在很多情况下,X×Z Y可以直观地认为是由元素对(<i>X</i>,<i>Y</i>)∈<i>X</i> <i>X</i>∈<i>Y</i> <i>Y</i>f(<i>x</i>) = <i>G</i>(<i>y</i>)对于一般的定义,一个通用性使用,主要表达一个事实:回调是完成给定的两态射为“一般”的方式交换方

这个双重概念的回调是推出

通用性编辑]

明确,回调的态射FG由一个对象P两态射P :P → XP :P → Y该图

分类pullback.svg

上下班此外,回调PPP必须是通用就这个图。那就是,任何其他三QQQ而下面的图上,存在一个独特的<i>你</i> : <i>问</i> → <i>P</i>(称为中介的态射),

分类回调SVG(扩大)。

与所有的通用结构,一个回调,如果它存在,是独一无二的了同构事实上,鉴于两拉回BBB相同的平台 X <i>Y</i> <i>Z</i> ←  → 有一个独特的现象,B尊重的回调结构。

弱的回调编辑]

弱势回调一个平台 X <i>Y</i> <i>Z</i> ←  → 是一个在平台,只弱普遍,即中介性<i>你</i> : <i>问</i> → <i>P</i>以上是不需要独特的。

回调和产品编辑]

回调是相似的产品,但不一样。一个可以获得产品的“遗忘”,态射FG存在,而忘记了目标Z存在.一个人走了离散范畴只包含两个对象XY,和他们之间没有箭头。这种离散范畴可以作为建立普通二进制产品的指标。因此,回调可以认为是普通(笛卡尔)的产品,但额外的结构。而不是“遗忘”ZF,和G,也可以“大事化小”的专业Z是的终端对象(如果存在的话)。FG然后,唯一确定的,因此没有携带信息,而这个平台的回调可以看作是产品XY

实例编辑]

交换环编辑]

这类交换环的承认回调。

在这类交换环(身份),表示,回调被称为纤维产品。

<i>一</i>、<i>B</i>、<i>C</i>∈OB(<b>哭</b>)
<i>α</i> :<i>一</i>→<i>C</i>∈坎(<b>哭</b>)
<i>β</i> :<i>B</i>→<i>C</i>∈坎(<b>哭</b>)

所以B,和C交换环与身份αβ环同态。那么这个图的回调是笛卡尔积的子环<i>一个</i>×<i>B</i>定义

随着射

给出的所有,,

套装编辑]

集的范畴一个回调,FG通过设定

一起的限制投影地图 ππX ×Z Y

另外一个可以看回调配置不对称:

哪里是的不相交(标记)联集(涉及集不相交的自己除非F分别为。G是内射)。在第一种情况下,投影π提取物X指数虽然π忘记指数,剩下的元素Y

这个例子是另一种方式的特征:作为回调均衡器的态射F ∘ PG ∘ P : X × Y → Z哪里X × <i>Y</i>是的二元产品属于XYPP是天然的预测。这表明,与二进制产品和均衡器的任何类别存在回调。事实上,由极限存在性定理,在与终端对象类别存在有限的限制,二元产品和均衡器。

纤维丛编辑]

另一个例子,一个回调来自理论纤维束一束:给定图<i>π</i> :<i>E</i>→<i>B</i>和一个连续映射 F : <i>X</i> → <i>B</i>,回调(形成的一类拓扑空间的连续映射)X ×B E是一种纤维束在X被称为拉回丛相关的交换图一个态射的纤维束。

原像和十字路口编辑]

原像在功能设置可谓拉回如下:

假设F :<i>一</i>→<i>B</i>BBG被纳入地图BB然后一个回调FG(在配置由原像了)F−1B]一起的原像在包含

F−1B↪]

和限制FF−1B]

F−1B→]B

因为这样的例子,在一般的范畴中态射的回调F和一个单G可以认为是“原像”下F子对象指定的G同样,两单回调可以视为两次“交集”。

性能编辑]

  • 与任何类别终端对象 T,回调X ×T Y只是普通的产品 X × <i>Y</i>[ 1 ]
  • 稳定下回调:如果箭头F以上是单,那么箭P同样,如果G是单,那么P
  • 同形物同样是稳定的,因此,例如,X ×X YY任何地图 → <i>X</i> <i>Y</i>(隐含的地图 → <i>X</i> <i>X</i>是身份)。
  • 在一个Abel范畴所有的回调存在,和他们保持,在以下意义:如果
分类pullback.svg
是一个回调图,然后引射芋(P → 芋()F是一个同构,引射等芋(P → 芋()G每一个回调图中上升为一个交换图的形式,所有的行和列的地方确切
  • 有一个自然的同构(×CB)×B D×CD明确,这意味着:
    • 如果图<i>F</i> :<i>一</i>→<i>C</i>、<i>G</i> :<i>B</i>→<i>C</i>和<i>H</i> :<i>D</i>→<i>B</i>了
    • 的回调是由<i>R</i> <i>F</i>和<i>G</i> :<i>P</i>→<i>一</i>和<i>的</i> :<i>P</i>→<i>B</i>,和
    • 该回调<i>的</i>,<i>H</i>是由<i>T</i> :<i>Q</i>→<i>P</i>和<i>U</i> :<i>Q</i>→<i>D</i>,
    • 然后回调<i>F</i>和<i>GH</i>是由<i>RT</i> :<i>Q</i>→<i>一</i>和<i>你</i> :<i>Q</i>→<i>D</i>。
这意味着两个回调图形方块,并排放置,并共享一个态射,形成一个较大的回调平方时忽略内共享性。
  • 回调和产品的任何类别的均衡器。

参见编辑]

笔记编辑]

  1. ^ 广告áMEK,197页。

推荐信编辑]

外部链接编辑]