复数

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一个复数可以直观地表示为一对数字(<i>一</i>, <i>B</i>)形成在图矢量称为阿干特图,代表复平面。”“是真正的轴,“我”是虚轴,和I满足I=−1

复数是一个这可以表示的形式<i>一个</i>+<i>双</i>,在那里B是实数,和I是该方程的解X=−1因为没有实数满足这个方程,I被称为虚数对于复杂的数<i>一个</i>+<i>双</i>被称为真实的部分,和B被称为虚部尽管历史命名“虚”,复数是数学科学视为一样的“真实”为实数,且基本在自然世界的科学描述的许多方面。[ 1 ][ 2 ]

复杂的数字系统可以定义为代数扩张普通的实数,虚数I[ 3 ]这意味着复杂的数据可以被添加,减去,并繁殖,在变量多项式I,与规则I=−1征税.此外,复数也可以分为非零复数。总的来说,复杂的数字系统是一个领域

最重要的是,复杂的数字引起的代数基本定理:每一个非恒定多项式的复系数方程有一个复杂的解决方案。此属性是复杂的数字属实,但不是真的。十六世纪意大利数学家卡尔达诺因为在他试图找到解决方案,引入复数三次方程[ 4 ]

几何,复数的概念延伸一维 数线二维 复平面通过使用水平轴对于真正的部分和垂直轴对于虚构的部分。复数<i>一个</i>+<i>双</i>可以确定的一点(<i>一</i>, <i>B</i>)在复平面。一个复数的实部为零,可以说是纯粹的想像的;指出这些数字躺在垂直轴的复平面。一个复数的虚部为零,可以被看作是一个实数;其点位于水平轴的复平面。复数也可以在极坐标的形式表示,并将每一个复数与从原点的距离(大小)和一个特定的角度称为论点这个复杂的数。

简介编辑]

复数允许解某些方程无解实数例如,方程

没有真正的解决方案,因为一个实数的平方是不负。复杂的数字提供了一个解决这个问题。这个想法是延伸一个实数不定 I(有时称为虚数单位),以满足的关系I=−1,所以,像前一个方程可解。在这种情况下的解决方案<i>我</i>−1 + 33<i>我</i>−1−,可以用事实验证I=−1

根据代数基本定理,所有的多项式方程真正的或复杂的系数在一个单一的变量有一个解决复杂的数字。

定义编辑]

一个例子的复平面一个复数的实部z = <i>x</i> + <i>iy</i>X,其虚部Y

一个复杂的数字的形式<i>一个</i>+<i>双</i>,在那里B是实数I是一种不确定的满足I=−1例如,2 + 3<i>我</i>是一个复杂的数。[ 5 ]

一个复杂的数量可能会因此被定义为一个多项式在单定I,与的关系I+ 1 = 0征税.从这个定义中,复数可以添加或增加,利用多项式的加法和乘法。正式,复数集是商环多项式环在不确定的I的,由理想的由多项式生成I+ 1(见在下面)。[ 6 ]这个配置所有的复数表示(正直勇敢)或黑板粗体)。

实数被称为真实的部分复数的<i>一个</i>+<i>双</i>房号;B被称为虚部属于<i>一个</i>+<i>双</i>根据本公约,虚构的部分不包括的因素I:因此B,不,是虚部。[ 7 ][ 8 ]一个复数的实部Z是用再(<i>Z</i>)ℜ(<i>Z</i>);虚部的复数Z是用我(<i>Z</i>)ℑ(<i>Z</i>)例如,

一个实数可以被视为一个复杂的数<i>一</i>+ 0<i>我</i>其虚部为0。一个纯粹的虚数 是一个复杂的数0 +<i>双</i>它的实部为零。这是常见的写<i>一</i>+ 0<i>我</i>0 +<i>双</i>此外,当虚部为负,这是常见的写<i>一个</i>−<i>双</i>B > 0而不是<i>一个</i>+(−<i>B</i>)<i>我</i>,例如3−4<i>我</i>而不是3 +(−4)<i>我</i>

笛卡尔形式,通过有序对定义编辑]

一个复数可以确定一个序偶 (Re(<i>z</i>),我(<i>Z</i>))在笛卡尔平面,识别有时被称为直角坐标形式Z事实上,一个复杂的数量可定义作为一个有序对(<i>A</i>,<i>B</i>),然后加法与乘法规则还必须包括作为定义的一部分(见在下面)。[ 9 ] 哈密顿介绍了这种方法来定义复杂的数字系统。[ 10 ]

复平面编辑]

图1:一个复杂的数Z,绘制一个点(红色)和位置矢量(蓝色)上阿干特图A + B<i>我</i>是它的矩形表达。

一个复杂的数字可以被看作是一个点或位置矢量在一个二维的笛卡儿坐标系称为复平面或阿干特图(见Pedoe 1988solomentsev 2001),命名为让-罗贝尔·阿尔冈数字通常是绘制的实部为水平分量和虚部为垂直(见图1)。这两个值用来确定一个给定的复数也因此被称为笛卡尔矩形,或代数形式

位置矢量也可以在其大小和方向相关术语定义的起源。这是一个复数的强调极坐标形式利用复数的极坐标形式的计算中,可能会导致数学结果更直观的解释。值得注意的是,加法和乘法运算就很自然的几何特征在复杂的数字被视为位置向量加法对应:向量的加法而乘法对应乘以它们的大小和添加自己的观点(即角度他们跟X轴)。这样一个复数的乘法视I对应于旋转位置矢量逆时针一个季度九十°)的起源:(A + B<i>我</i>)<i>我</i>=一个<i>我</i>+ B<i>我</i>=B +<i>我</i>

历史简介编辑]

主要部分:历史

在基液(无三角函数一个一般的三次方程包含)的平方根负数三根是实数时,情况不能通过保理通过整流理性的根如果立方体不可约(所谓的案例irreducibilis)。这个难题使意大利数学家卡尔达诺出复杂的数字在1545左右,[ 11 ]虽然他的理解是基本的。

工作上的问题,最终导致了一般多项式代数基本定理,这表明复杂的数字,一个解决方案的每一个多项式的一次或高次方程。从而形成一个复杂的数字代数闭域,凡多项式的方程有root

许多数学家为复数的全面发展。规则的加法,减法,乘法,除法,复数是由意大利数学家开发拉斐尔该[ 12 ]一个更抽象的形式主义的复数了爱尔兰数学家哈密顿,谁扩展了这一抽象理论四元数

符号编辑]

因为它是在一元多项式I<i>一个</i>+ <i>IB</i>可以写而不是<i>一个</i>+<i>双</i>这往往是有利的,当B是一个激进的。[ 13 ]在某些学科,特别是电磁电气工程J代替I[ 14 ]自从I经常用于电流在这些情况下,复数写成<i>一个</i>+<i>北京</i><i>一个</i>+ <i>JB</i>

公平与秩序的关系编辑]

两个复数相等当且仅当他们的实部和虚部都是平等的。这是复数相等当且仅当如果复杂的数字是用极坐标形式,他们是平等的当且仅当它们有相同的观点和相同的大小。

因为复数自然看作二维平面上的存在,没有自然的线性排序在复数集。此外,没有线性排序在复杂的数字,用加法和乘法–复数不能有一个结构兼容有序域这是因为在一个有序域任何一方至少,但I=−1

基本操作编辑]

结合编辑]

几何表示Z和它的共轭在复平面

这个复共轭复数的z = <i>x</i> +<i>一</i>被定义为X−<i>彝族</i>这是表示由Z *[ 15 ]

几何,是的“反思”属于Z关于实轴。结合两次给出原复数:

一个复数的实部和虚部Z可以使用共轭提取:

此外,当且仅当它为自己的共轭复数是真实的。

共轭分布在标准的算术运算:

加法和减法编辑]

两个复数的加法可以通过构造一个平行四边形几何做。

复杂的数字补充通过分别添加的加数的实部和虚部。也就是说:

同样,减法是指由

利用复数的可视化在复平面上,除了有以下的几何解释:两个复数的总和B,解释为复平面上的点,是点X通过建立一个得到平行四边形,3的顶点oB等价,X点是这样的三角形顶点oB,和XB,是全等

乘法和除法编辑]

两个复数乘法由以下公式定义:

特别是,该方形属于I是−1:

对一般的复数乘法前面的定义遵循自然从这个基本的性质I事实上,如果I作为一个号码,方法D时代I,上面的乘法规则是通常的规则相同乘以2和两项。

 (分配律
 (交换性质另外,加数的顺序可以改变)
 (交换和分配的性质)
 (基本的性质I)。

两个复数的划分是复杂的乘法定义,这是上面所描述的,和真正的分。当至少一个CD是的,我们有

师可以定义这种方式由于以下的观察:

如图所示,C−<i>迪</i>是复共轭的分母C + <i>DI</i>在该部分的至少一个C和虚部D分母必须划分来定义是非零。这是被称为“合理化“分母的(虽然分母在最后的表达可能是一种非理性的房号)。

倒数编辑]

这个倒数一个非零复数z = <i>x</i> +<i>一</i>给出了

这个公式可以用来计算一个复数的乘法逆元如果是直角坐标系中给出。反演几何一个分支几何学研究的思考,比一般的线,也可以表示复数。电路网络分析,复共轭法求等效阻抗时最大功率传输定理使用。

平方根编辑]

的平方根<i>一个</i>+<i>双</i>(与B≠0)是,在那里

在SGN是符号功能。这可以看出,通过平方获得<i>一个</i>+<i>双</i>[ 16 ][ 17 ]在这里被称为模量属于<i>一个</i>+<i>双</i>,和平方根符号表示平方根的非负实部,称为主平方根;也,在那里[ 18 ]

极坐标形式编辑]

图2:争论φ和弹性模量R定位在阿冈图一点;极地的点的表达。

绝对值和参数编辑]

另一种定义方式一点P在复平面上,除了利用X-Y坐标,是用该点的距离o、点的坐标(0, 0)(The起源),连同角之间正实轴和线段操作在逆时针的方向。这种想法导致了复数的极坐标形式。

这个绝对值(或模量大小对一个复数)z = <i>x</i> +<i>一</i>[ 19 ]

如果Z是一个实数(即,如果Y = 0),然后R = | <i>X</i> |这是一个实数的绝对值等于其绝对值作为一个复杂的数。

勾股定理,绝对值的复数是到原点的距离的点表示复数的复平面

的绝对值的平方

哪里是的复共轭属于

这个论点属于Z(在许多应用程序中称为“相”)的角度半径 操作与正实轴,并写成与模量参数可以发现从矩形形式[ 20 ]

该广场一个复数根可视化第六Z,在极坐标形式重新我φ哪里<i>φ</i>= arg <i>z</i>R = | <i>Z</i> | –如果Z是真实的,φ= 0π主要的根是黑色的。

通常,上面给出的,这主值在区间(−π,π]是选择。在范围值【0,2π)通过添加如果该值为负。价值φ表示弧度在这篇文章中。它能增加任何整数倍数还有给同一角。因此,精氨酸功能有时被视为多值对于复杂的数字0极角是不确定的,但 0角度任意选择是常见的。

价值φ等于结果

在一起,Rφ给另一种方式表示复数的极坐标形式,作为组合模量参数指定平面上点的位置。从极坐标形式恢复原来的矩形坐标的公式称为三角形式

使用欧拉公式这可以写为

使用功能,这是有时缩写为

进入角的符号,经常使用电子产品代表一个相量振幅R和相φ,这是写的[ 21 ]

极坐标形式的乘法和除法编辑]

乘法2 +<i>我</i>(蓝色三角形)和3 +<i>我</i>(红三角)。红色三角形旋转匹配的蓝色顶点和拉伸的长度,直角三角形的斜边蓝色三角形的。

公式的乘法,除法和指数运算是简单的极坐标形式的比笛卡儿坐标的计算公式。给定两个复数Z=R(因为 φ+I 罪 φZ=R(因为 φ+I 罪 φ,由于众所周知的三角恒等式

我们可以得到

换句话说,绝对值增加和参数添加到产物的收率的极坐标形式。例如,乘以I相当于一个季度—逆时针旋转,它的回报I=−1在正确的图乘法

由于实部和虚部5 + 5<i>我</i>都是平等的,那个数量的说法是45度,或π/ 4(在弧度)。另一方面,它也在红色和蓝色的三角形的内角和是起源反正切(1/3)和反正切(1/2),分别。因此,公式

持有作为反正切函数可以近似公式高效,这样称为机像公式-用于高精度近似π

同样,分了

编辑]

欧拉公式编辑]

欧拉公式指出,对于任何实数X

哪里E是的的自然对数底这可以证明通过感应观察

等等,并结合泰勒系列展开E因为<i>X</i>sin <i>x</i>

术语的重排是正当的因为每个系列绝对收敛

自然对数编辑]

从欧拉公式,对任何复数<i>z</i>用极坐标形式,

哪里R是一个非负实数,为一个可能的值复杂的对数属于Z

因为正弦和余弦周期函数,其他可能的值,可以得到。例如,,所以是自然对数的两个可能值

处理多个可能的值的存在对于一个给定的输入,复杂的对数可以看成是一个多值函数,用

另外,一个分切可以用来定义一个单值的“分支”的复杂的对数。

整数和分数指数编辑]

我们可以使用身份

定义复杂的运算,这同样是多值:

什么时候N是一个整数,这简化了de Moivre的公式

这个NTH属于Z给出了

对于任意整数K令人满意的0≤<i>K</i>≤<i>N</i>−1在这里NR通常是(正)N日的正实数根RN一个正实数次根R被选为积极的实数C令人满意的CN=R没有自然的方式区分一个特定的复杂N一个复数次根。因此,该N这根Z作为一个多值函数(在Z),而不是通常的功能F,,F(<i>z</i>)是一个唯一确定的数。计算公式为

(这是正实数),一般不举行复杂的数字。

性能编辑]

场结构编辑]

C复数是领域[ 22 ]简而言之,这意味着以下事实:第一,任何两个复数可以加和乘产生另一个复数。其次,对任何复杂的数Z,其加法逆 −<i>Z</i>又是一个复杂的数;其三,每一个非零复数具有倒数复数。此外,这些运算满足的一些法律,比如法律交换性任何两个复数的加法和乘法ZZ

这两个定律和场上的其他要求可由上述公式的证明,使用真实的数字本身形成一场。

不像真的,C是不是一个有序域,也就是说,它是不可能定义一个关系Z<Z那就是用加法和乘法兼容。事实上,在任何命令,任何元素的平方一定是积极的,所以I=−1没有一个存在订购打开(放)C[ 23 ]

当相关领域的数学主题或是复杂的数字领域,课题的名称通常是修改,以反映这一事实。例如:复杂的分析的,复杂的矩阵的,复杂的多项式的,和复杂的李代数

多项式方程的解编辑]

任何复杂的数字(称为系数, , …N的方程,

至少有一个复杂的解决方案Z,提供在至少一个高系数, , …N不为零。[ 24 ]这是的声明代数基本定理,对高斯让·勒朗·达朗贝尔因为这个事实,C被称为代数闭域此属性不适用于有理数域 Q(多项式X−2没有一个合理的根,自不是一个有理数和实数)R(多项式X+没有真正的根<i>一</i>> 0,由于广场X积极为任意实数X)。

有这个定理的各种证据,通过解析方法如Liouville定理,或拓扑人如绕数,或论证相结合伽罗瓦理论和任何多项式的事实奇数度至少有一个实根。

由于这一事实,定理持有对于任何代数闭域,适用于C例如,任何非空的复杂方阵至少有一个(复杂)特征值

代数特征编辑]

现场C有以下三个特点:第一,它有特征0。这意味着,1 + 1 + 0 + 1≠⋯任意数量的变量(即等于一)。其次,它的超越的程度结束Q,的素数域属于C是的,连续统的势第三,它是代数封闭(见上图)。可以证明,任何具有这些属性字段同构(一场)来C例如,在代数闭包属于QP同时满足这三个性质,所以这两个领域是同构的(如字段,但不作为拓扑领域)。[ 25 ]也,C同构到复杂的领域皮瑟级数然而,指定一个同构的要求选择公理这个代数刻画的另一个后果是,C包含许多适当的子域是同构的C

作为一个拓扑领域的表征编辑]

前面的表征C仅介绍代数方面C也就是说,性能贴近连续性、物质等方面分析拓扑,不处理。以下描述C作为一个拓扑场论(那是,一场有拓扑,使概念的收敛)不考虑拓扑性质。C包含的子集P(即正实数的集合)的非零元素,满足以下条件:

  • P下是封闭的加法,乘法和以逆。
  • 如果XY不同的元素P,然后X−<i>Y</i>−<i>X</i> <i>Y</i>P
  • 如果S任何非空子集P,然后S + <i>P</i> = <i>X</i> + <i>P</i>对于一些X进入C

此外,C有一个非平凡回旋的 自同构 X↦<i>×</i>×(即复共轭),这样<i>X </i>××P对于任何非零X进入C

任何领域F这些特性可以赋予以集拓扑B(<i>X</i>,<i>Y</i> <i>P</i>)= { | <i>P</i>(<i>Y</i>−−<i>X</i>(<i>Y</i>)−<i>x</i>)*∈<i>P</i> } 作为一个基地,在那里X在领域和范围P范围P该拓扑F是同构的一个拓扑C

唯一的有联系的 局部紧 拓扑领域RC这提供了另一种表征C作为一个拓扑领域,自C可以区分R由于非零复数有联系的,而非零实数不。[ 26 ]

正式施工编辑]

建设有序对编辑]

C复数可以定义为集R属于序偶 (<i>一</i>, <i>B</i>)实数,包括加法和乘法是强加的规则:[ 27 ]

然后,只是一个符号来表达(<i>一</i>, <i>B</i>)作为<i>一个</i>+<i>双</i>

建筑作为一个商场编辑]

虽然这种低水平建设并准确地描述复杂的数据结构,下面的等价定义揭示了代数性质C更直接的。这一特性依赖于领域和多项式的概念。一场是一个集赋予此外,减法,乘法和除法运算,像是熟悉的,说的有理数。例如,在分配律

必须持有的任何三个元素XYZ一场。R实数形式一场呢。一个多项式P(<i>X</i>)与真正的系数是一种表达的形式

那里的,…, N是实数。通常的加法和乘法多项式赋予集r [<i>×</i>]所有这样的多项式的一个戒指结构。这枚戒指叫做多项式环在实数。

复数的集合被定义为商环 RX] /(X + 1)[ 28 ]这个扩展字段包含两平方根−1(的,即陪集的)X−<i>X</i>,分别。(的陪集)X形成一个基础RX] /(X + 1)作为一个真正的向量空间,这意味着每一元的扩展字段可以唯一地表示为一个线性组合在这两个要素。同样,扩展的字段元素可以写为序偶(<i>一</i>, <i>B</i>)实数。商环是一个领域,因为X+ 1)是一个素理想进入r [<i>×</i>],一个主理想整环,因此是一个最大的理想

在环的加法和乘法公式r [<i>×</i>],模的关系X= 1对应的添加和复数定义为有序对乘法公式。所以两字段定义C同构(领域)。

接受C是代数闭域,因为它是一个代数扩张属于R在这种方法中,C因此,代数闭包属于R

复数的矩阵表示编辑]

复数<i>一个</i>+<i>双</i>也可以由2 × 2 矩阵有以下形式:

这里的条目B是实数。和两个矩阵的乘积又是这一形式,和复杂的数字产品对应的总和产品这样的矩阵,该产品:

的复数乘法的几何描述,也可以用旋转矩阵利用复数和矩阵之间的对应关系。此外,一个复杂的数表示为一个矩阵等于绝对值的平方行列式这个矩阵:

共轭对应于转置矩阵的。

虽然这表示复数的矩阵是最常见的,很多其他的陈述产生的矩阵其他比 这广场的负单位矩阵看到一篇关于2×2实矩阵对于复数的其他表达。

复杂的分析编辑]

色轮图属于罪(1 / <i>Z</i>)黑色的部分里面是指具有绝对值大的数。

的复变函数的研究称为复杂的分析并具有巨大的实际应用应用数学以及在数学的其他分支。通常,语句在最自然的证明真正的分析甚至数论使用复杂的分析技术(见素数定理为例)。不像真正的功能,这通常表示为二维图,复杂的功能有四维图,可以有效地通过颜色编码说明三维图建议四个维度,或通过使复平面上的复变函数的动态变化。

复指数函数和相关函数编辑]

的概念收敛级数连续函数在(真正的)分析复分析中有天然类似物。一个序列的复数表示收敛当且仅当它的实部和虚部做。这相当于(ε,δ)-定义范围,在实数的绝对值是由复数代替。从更抽象的角度,C,赋予了米制的

是一个完整的度量空间值得注意的是,其中包括三角不等式

任何两个复数ZZ

喜欢在真正的分析,这一概念的融合是用来构建一些初等函数:的指数函数 exp(<i>z</i>),也写EZ,定义为无穷级数

该系列真正的三角函数的定义正弦余弦,以及双曲函数双曲正弦和余弦,也带到复杂的参数没有变化。对于其他的三角函数和双曲函数,如切线,情况稍微复杂,为定义系列不收敛的所有复杂的价值。因此,我们必须定义他们无论是正弦,余弦和指数,或等价地,利用方法解析延拓

欧拉公式

对于任何实数<i>φ</i>,特别是

不同于实数的情况,有一个无限复杂的解决方案Z该方程

任何复杂的数W≠0可以证明,任何这样的解决方案Z所谓复杂的对数属于W-满足

精氨酸是哪里论点定义在上面,和LN(房)自然对数如精氨酸是一种多值函数,独特的只有一个2的倍数π日志也多。这个主值日志往往是通过限制的虚数部分的拍摄间隔 (−π,π]

复杂 Zω被定义为

是多值的,除非是一个整数。<i>ω</i>= 1 / <i>N</i>对于某些自然数,N,这个恢复的非唯一性N这根以上。

复数与实数,一般不满足修改的权力和对数恒等式,特别是当那ï地视为单值函数;看功率和对数恒等式的失败例如,他们不满足

方程的两边都是多值的复杂运算,这里给出的定义,和左边的值是那些右翼的子集。

全纯函数编辑]

一个函数F :CC被称为全纯如果它满足柯西–黎曼方程例如,任何R -线性地图CC可以以书面的形式

复系数B这张地图是全纯当且仅当 B = 0第二和项真是可微的,但不满足柯西–黎曼方程

复杂的分析显示了一些特征不明显的现实分析。例如,任何两个全纯函数FG同意一个任意小的开子集属于C一定同意无处不在。亚纯函数,功能,可以在本地可写为FZ)/(ZZN一个全纯函数F,依然有一些功能的全纯函数。其他功能本性奇点,如罪(1 / <i>Z</i>)Z = 0

应用编辑]

复数有多种科学本质的具体应用等相关领域信号处理控制理论电磁流体动力学量子力学制图,和振动分析复数的一些应用:

控制理论编辑]

进入控制理论,系统往往由时间域频率域使用拉普拉斯变换该系统的零极点然后分析了复平面这个根轨迹Nyquist图,和尼克尔斯的阴谋方法利用复平面。

在根轨迹法,重要的是是否零、极点在左或右的半平面,即有实部大于零或小于零。如果一个线性时不变(LTI)系统已极,

如果一个系统在右半平面零点,这是一个非最小相位系统

广义积分编辑]

在应用领域,复杂的数据经常被用来计算某些实数反常积分复值函数的方法,通过。有几种方法来做这件事;看轮廓积分方法

流体动力学编辑]

进入流体动力学,复杂的功能是用来描述在二维势流

动态方程编辑]

进入微分方程这是很常见的,先找到所有复杂的根源R特征方程一个线性微分方程或方程系统,然后试图解决在身体的基本功能系统FT)=ERT同样的,在差分方程复杂的根源,R对差分方程系统的特征方程的使用,试图解决在身体的基本功能系统FT)=RT

电磁和电气工程编辑]

进入电气工程,的傅里叶变换是用来分析不同电压电流治疗电阻器电容器,和电感器然后可以通过引入假想的统一,依赖于频率的电阻为后两结合所有三在单复数称为阻抗这种方法被称为相量微积分.

在电气工程,虚数单位表示J为了避免混乱,I,通常使用表示电流或者,更特别的是,I,这是一般用来表示瞬时电流。

电压在交流电路振荡,它可以表示为

为了获得可测量的量,真正的部分了:

复值信号被称为解析的实际值表示的,可测量的信号[ 29 ]

信号分析编辑]

复数的使用信号分析对于周期性变化的信号的一个方便的描述其他领域。对于给定的实函数代表实际的物理量,通常以正弦和余弦形式,相应的复函数的实部为原量。对于一个正弦波一个给定的频率,绝对值| <i>Z</i> |相应的Z是的振幅论点 精氨酸(<i>Z</i>)是的阶段

如果傅里叶分析来写一个给定的实数信号为一个周期函数,这些函数周期往往是书面形式的复值函数

在ω代表角频率和复数编码的相位和幅度的说明。

这也延伸到数字信号处理数字图像处理,利用傅里叶分析的数字版本(和小波分析)来传输,压缩,恢复,和其他处理数字 音频信号,图像,和视频信号.

另一个例子,这两个边带相关振幅调制AM收音机,是:

量子力学编辑]

复数域是内在的量子力学的数学公式在复杂的,希尔伯特空间对于这样的一个公式,方便最标准提供上下文。原有的基础公式,量子力学öSchr dinger方程和海森堡的矩阵力学利用复数。

相对论编辑]

进入特殊广义相对论,一些公式的度量时空如果以时间的时空连续体是虚构的成分变得更简单。(这个方法不再是标准的经典相对论,但使用中的一个重要方式进入量子场理论复数是必不可少的。)旋量,这是一个概括的张量用相对论。

几何编辑]

分形编辑]

某些分形绘制在复平面上,例如曼德尔布罗特集朱丽亚集

三角形编辑]

每个三角形都有一个独特的斯坦纳inellipse-椭圆三角形和切线内的三角形的三条边的中点。这个一个三角形的Steiner inellipse可以发现如下,根据马登定理[ 30 ][ 31 ]表示三角形的顶点在复平面上=X+YIB=XB+YBI,和C=XC+YCI写的三次方程 ,以其衍生物,并把(二次)导数为零。马登定理说,这个方程的解是复数表示对Steiner inellipse的两个焦点的位置。

代数数论编辑]

一个普通的五角大厦建设用直尺和圆规

如上所述,任何数多项式方程(复杂系数)有一个解决方案C不用说,同样的如果方程的有理系数。这样的方程的根叫做代数数–他们研究的主要对象代数数论相比Q,代数闭包Q,其中也包含所有的代数数,C具有在几何方面的优势是很容易理解的。这样,代数的方法可以用来研究几何问题,反之亦然。用代数的方法,更具体地应用机械场理论数域单位根,它可以证明它是不可能构建一个规则边形 只使用圆规和直尺–一个纯粹的几何问题。

另一个例子是高斯整数,即数的形式x + <i>iy</i>,在那里XY是整数,它可以被用来分类和的平方

解析数论编辑]

解析数论研究的数字,往往整数或有理数,利用的事实,它们可被视为复数,其分析方法可用于。这是由编码数论信息的复值函数。例如,在Riemann zeta函数 ζ(<i>S</i>)是分布相关素数

历史编辑]

最早的短暂的参考平方根属于负数也许可以说,在工作中发生古希腊数学家 英雄的亚历山大市在一世纪广告,在他的测体积学他认为,显然错误的,一个不可能的体积一个金字塔到学期在他的计算中,虽然负的数量并不在古希腊数学和鹭只是取代它的阳性()。[ 32 ]

研究复杂的数字作为一个话题本身的动力首先出现在十六世纪的时候代数解为根立方体的四次 多项式由意大利数学家发现(见尼科尔ò丰塔纳塔尔塔利亚卡尔达诺)。它很快就意识到,这些公式,即使只注意实数解,有时需要负数的平方根的操作。作为一个例子,一个形式的三次方程的Tartaglia公式[ 33 ]解决了方程X=X作为

乍一看,这看起来像废话。然而正式计算复杂的数字表明,方程Z=I有解<i>我</i>−将这些反过来在Tartaglia的立方公式和简化,作为解决方案的一个−得到0, 1和1XX= 0当然,这个方程可以解决在眼前但它确实说明,当通用公式是用来解决真正的根源后的三次方程,为后来的数学家显示严谨,使用复杂的数字是不可避免的拉斐尔该是第一个明确地解决这些看似矛盾的解决方案三方程和开发复杂的算法来解决这些问题的规则。

“虚”,这些量是杜撰的任é笛卡尔1637,虽然他极力强调他们的虚构本质[ 34 ]

[…]有时只是虚构的,这是一个可以想象当我在每一个方程表示为多,但有时不存在量与我们所想象的。

([…] quelquefois seulement幻想是-à-可怕的阙这peut TOUJOURS EN想象autant阙J'ai DIT EN chaqueé方程,MAIS qu'il n'y一quelquefois aucune数量é魁记者à策勒qu'on想象。)

进一步混乱的根源是,方程似乎与代数恒等式地不一致,为非负实数是有效的B,并可在一些复杂的计算之一B正和负。这种身份的不正确使用(以及相关的身份在的情况下)B是消极的甚至困扰欧拉。这个问题最终导致使用特殊符号的约定I在的地方−1为防止这种错误。需要的引证]即便如此,欧拉认为自然向学生介绍复杂的数字比我们早多了今天。他在初等代数教科书,元素的代数他介绍,这些数字几乎立即使用它们以自然的方式在。

在十八世纪的复数得到广泛的使用,因为它是发现复杂的表达式形式操作可以用来简化计算涉及三角函数。例如,在1730棣莫弗指出复杂身份的角度可以简单地通过以下著名的公式,以他的名字命名的权力表示三角函数关于角的整数倍的三角函数,de Moivre的公式

1748莱昂哈德-欧拉更进一步,得到欧拉公式属于复杂的分析

正式操作复杂幂级数观察这个公式可以用来减少任何三角恒等式要简单得多的指数恒等式。

一个复数的理念在复平面上的一点(在上面)第一次描述了卡斯帕尔·韦塞尔1799,虽然它已经被预期的早1685沃利斯 解代数逻辑哲学论

韦塞尔的回忆录出现在诉讼中的哥本哈根研究院但在很大程度上被忽视。1806让-罗贝尔·阿尔冈独立发行的小册子和复数的严格证明代数基本定理高斯此前公布的基本拓扑证明的定理在1797年却对此表示怀疑的时候,“对−-1的平方根的真正的形而上学”。直到1831年,他克服了这些疑虑,发表了他关于复数的论著为点的飞机,主要是建立现代符号和术语。在19世纪初,其他数学家发现独立的复数的几何表示:不éE,mourey沃伦弗兰çAIS和他的兄弟,贝拉维蒂斯[ 35 ]

英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代说高斯是用复数的第一个数学家一个真正自信的、科学的方式虽然数学家如阿贝尔雅可比必须使用常规之前,高斯出版了他的1831年论文。[ 36 ] 柯西黎曼一起带来的基本理念复杂的分析一个高的状态下完成的,在1825年开始在柯西的情况下。

在理论方面主要是由于共同创始人。A称为这个方向因子,和这个模量;柯西(1828)称为这个简化形式(l'expression Réduite)显然介绍术语论点;高斯I,介绍了术语复数<i>一个</i>+<i>双</i>,并称+B这个规范的表达方向系数,经常用于,是由于汉克尔(1867),和绝对值,模量,是因为Weierstrass。

后来的古典作家的一般理论,包括理查德·戴德金öOtto H lderFelix克莱因Henri Poincaré与施瓦茨卡尔·魏尔斯特拉斯和许多其他的。

与相关概念的概括编辑]

延伸领域的过程R实数来C被称为Cayley–Dickson建设它可以进行进一步的更高维度,屈服四元数 H八元数 o它(作为一个实向量空间的维数 )是4和8,分别。在这样的背景下,复杂的数字被称为binarions[ 37 ]

然而,正如应用建设实性订购丢失、性能熟悉实数和复数各延伸消失。这个四元数失去交换,即:X·<i>Y</i>≠·<i>X</i> <i>Y</i>对于一些四元数X,<i>Y</i> ,和乘法八元数另外,不可交换的,不能联想:(<i>X</i> <i>Y</i> <i>Z</i>·)·≠<i>X</i>·(<i>Y</i>·<i>Z</i>)对于一些八元数X,<i>Y</i> , <i>Z</i>。

实数、复数、四元数和八元数都范分代数结束R然而,通过Hurwitz定理他们是唯一。在Cayley–德信工程下一步的为sedenions,事实上不能有这种结构。

Cayley–建筑是密切相关的正则表示属于C,认为是一个R代数(一个R用乘法向量空间),相对于基础(1, <i>我</i>)这意味着以下的R线性映射

对于一些固定的复数W可以表示为一个2 × 2矩阵(一旦选择依据)。相对于基础(1, <i>我</i>),这个矩阵是

即一节中提到的矩阵表示复数以上的人。虽然这是一个线性表示属于C2×2实矩阵,它是不是唯一的一个。任何矩阵

有它的平方是单位矩阵的负资产:J=−I然后

也是同构的领域C,并给出了另一种复杂的结构R这是一个广义的概念线性结构复杂

超复数还推广RCH,和o例如,这个概念包含将复杂的数字,这是环元素RX] /(X−1)(反对RX] /(X+ 1))。在这一环,方程= 1有4个解决方案。

现场R是完成Q的领域,有理数,与通常的绝对值 米制的其他的选择韵律学打开(放)Q导致这场QP属于P—adic数(任何质数 P),从而类似于R有没有其他的方式完成QRQP的,由Ostrowski定理代数闭包属于QP还进行了规范,但(不像C)不完全与它。完成属于原来是代数闭。这场被称为PADIC复数类比。

田野RQP和他们的有限的领域扩展,包括C,是局部域

参见编辑]

笔记编辑]

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数学参考编辑]

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