代数空间

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进入数学代数空间形式的推广计划属于代数几何,介绍阿廷 (一千九百六十九一千九百七十一)使用形变理论直观上,给出粘合在一起的仿射方案使用Zariski拓扑,而代数空间是粘合在一起的仿射方案使用更好的了é故事结构另外一个能想到的方案是局部同构于仿射Zariski拓扑方案,而代数空间是局部同构的故事在é仿射方案拓扑。

由此产生的多类别代数空间扩展计划的范畴,可以进行几种天然结构,用于建造模空间但不可能总是在计划的小类,如以一个商自由行动由一个有限群(参见龙骨–Mori定理)。

定义编辑]

有代数空间定义了常用的两种方法:他们可以被定义为商方案层的等价关系,或者在一个大层网站,局部同构方案滑轮。这两个定义本质上是等价的。

代数空间商方案编辑]

一个<b>代数空间</b><i>X</i>包括方案<i>U</i>和闭子概形<i>R</i>⊂<i>U</i>×<i>u</i>满足以下两个条件:

1。R是一个等价关系作为一个集U×U
2。预测PIRU在每一个因素é故事图

一些学者,如Knutson,添加一个额外的条件,一个代数空间为准—分离,即对角线的地图是拟紧。

一个总是可以假定RU仿射方案这样做意味着代数空间理论不依赖于方案的完整理论,的确可以被用来作为一个(更一般的理论置换)。

如果R在每一个连接的组件的琐碎的等价关系U(即所有XY属于同一个连通分量U,我们有XRY当且仅当X=Y),然后代数空间将一般意义上的方案。由于一般的代数空间X不满足这个要求,它允许一个单一的连接组件U翻唱 X与许多“表”。点集基本代数空间X由下式给出|U| / |R|为一组等价类

Y由等价关系定义了一个代数空间Sv×v设置坎(YX)的代数空间的态射然后,它使条件定义下降序列

精确(这个定义是出于一个下降定理格罗腾迪克满é故事映射的仿射方案)。这些定义的代数空间的形成多类别

U在一场仿射方案K通过系统的多项式的定义GX),X=(X,…,XN),让

表示戒指属于代数函数进入X结束K,让X= {RU×U}是一个代数空间。

适当的秸秆 ÕX,<i>X</i>打开(放)X然后,定义为局部环定义的代数函数ÕU<i>,你</i>,在那里UU一点躺在XÕU<i>,你</i>是局部环对应U的环

K{X, , …XN} / (G

代数函数在<i>U</i>。

在一个代数空间一点说是光滑的如果ÕX<i>,X</i>K{Z,…,ZD}一些 Z,…,ZD尺寸XX然后就定义为D

一个态射<i>f</i>:<i>X</i> <i>Y</i>→代数空间称为<b>é故事</b>在<i>Y</i>∈<i>Y</i>(其中<i>X</i> = <i>F</i>(<i>y</i>))如果茎诱导地图

ÕX,<i>X</i>ÕY<i>、Y</i>

是一个同构。

这个结构层 oX在代数空间X是通过将函数定义的环ov)上v(由é故事图v对仿射直线在这个意义上只是定义的)任何代数空间v这是é故事结束X

代数空间滑轮编辑]

一个代数空间 可以定义为一组

这样,

  1. 有一个满射艾达尔态射
  2. 对角射

是可表示的。这相当于财产的任何方案和态射,其纤维产品的滑轮

是用一个方案值得注意的是,一些作者,如Knutson,添加一个额外的条件,一个代数空间被准分离,即对角线的地图是拟紧。

代数空间和方案编辑]

代数空间是类似的方案,并对方案的理论延伸到代数空间。例如,射方案大多数属性也适用于代数空间,一个可以定义quasicoherent滑轮上同调,这对正确的态射的通常的有限性,等等。

  • 适当的代数空间场的尺寸随着(曲线)方案。
  • 非奇异代数空间适当尺寸二过一场(表面光滑)方案。
  • 准分离在一场在代数空间范畴组对象的方案,虽然有非准分离的组对象,不是方案。
  • 在一个任意的方案是正确的在代数空间范畴的交换对象组,局部有限的介绍,平,和上同调维数为平面方案。
  • 不是每一个奇异代数曲面是一个方案。
  • Hironaka的例子可以用来给一个非奇异代数空间三维适当不是一个方案,通过方案商通过一组2阶自由行动了。这说明方案和代数空间之间的一个区别:由离散群自由行动的空间代数的商代数空间,而是由离散群作用的方案商自由不需要计划(即使群是有限的)。
  • 每一个准分离代数空间含有密集开放的仿射概型,和这样一个概型补体总有余维≥1。因此,代数空间在某种意义上是“关闭”的仿射方案。
  • 以格子的复数的商代数空间,但不是一个椭圆曲线,即使相应的解析空间是一个椭圆曲线(或者更准确地说是图像的椭圆曲线下函子从复杂的代数空间解析空间)。事实上,这种代数空间商不是一个方案,是不完整的,甚至没有准分离。这表明,虽然无限离散群的代数空间的商代数空间,它可以有奇特的性质和可能不是代数空间是“期待”。类似的例子是由复杂的仿射直线的商的整数,或复仿射直线减去一些权力起源的商:再相应的解析空间是一个品种,但不是代数空间。

代数空间解析空间编辑]

复数域上的代数空间密切相关解析空间moishezon流形

大致说来,复杂的代数空间解析空间之间的区别是,复杂的代数空间粘拼在一起使用é仿射故事拓扑形成,而分析空间的经典拓扑上形成。特别是从有限型来分析空间复杂的代数空间函子。Hopf流形给出解析曲面并非来自一个适当的代数空间的例子(尽管可以构建非正确和非分离的代数空间解析空间是Hopf曲面)。不同代数空间对应相同的解析空间也是可能的:例如,椭圆曲线和商C通过相应的晶格不同构的代数空间,但相应的解析空间是同构的。

Artin表明适当的代数空间的复数是或多或少相同moishezon空间。

一般化编辑]

代数空间深远的概括了代数栈栈中的类可以形成更多的商群的行动比代数空间范畴(所得的商称为商堆栈)。

推荐信编辑]

外部链接编辑]