理论（数学）

与生物相似，数学是环境中的一个统一体，但又与环境隔绝——是一个更大整体的一个隔间，虽然在功能上与环境并非完全隔离或封闭，但在结构上是可以区分的。

（CC）照片：安德斯·桑德伯格

（CC）图片：Anders Sandberg

数学在结构上是可区分的

公理或非公理

有两种可能的数学方法，R·费曼称之为“巴比伦传统”和“希腊传统”。他们对这个问题的回答是不同的，不管一些数学事实是否比其他的更基本，更重要的事实。同样的方法也适用于任何理论，无论数学与否。

巴比伦（非公理）传统将理论视为一个网络，其节点是事实，连接是推导。如果忘记了一些事实，它们可能可以从其他事实中得出。

希腊（公理）传统将理论视为一座由更多重要事实组成的塔，称为定理，其基础是更多基本事实，称为公理。如果忘记了所有定理，它们肯定可以从公理中导出。这些公理既稀疏又简单，不可忘记。

单调或非单调

这两种方法之间的区别与单调逻辑和非单调逻辑之间的区别密切相关。这些问题的答案不同，一个事实是否可以因为新的证据而被撤回。单调逻辑回答否定，非单调逻辑回答肯定。

非单调逻辑在日常生活和研究中经常使用。例如：“作为一只鸟，这只动物应该飞”，但这只鸟看起来可能是一只企鹅。另一个例子：“草是湿的，所以下雨了”，但原因可能是洒水车。

非公理方法是灵活的。当需要时，可以撤回一些旧事实，添加一些新事实，并相应地更改一些派生。如今，这种方法在数学以外的领域得到了广泛应用，而在数学（所谓的非正式数学）中的应用则很少。

公理方法是不灵活的。如果不删除（或替换）至少一个公理，就无法收回一个定理，这通常会对许多其他定理产生重大影响。现在这种方法在数学中被广泛使用。

当新证据通常来自外部时，非公理方法非常适合。公理化方法非常适合于这样一种理论，即只有从不变的公理列表中提取新的结果才能推动理论的发展。这样的发展似乎一定很枯燥。令人惊讶的是，这是一种错觉。公理理论在某种意义上是不灵活的，在另一种意义上是非常灵活的，参见第节。2.2.

尖锐或模糊；真实或理想

一枚公平的硬币被掷1000次；1000次都获得了人头，这会随机发生吗？著名数学家埃米尔·博雷尔（Emile Borel）的回答是否定的，但有一个重要的保留：

这是一种事件，尽管它不可能可能无法合理证明，但可能性如此之小，以至于没有一个明智的人会犹豫地宣布这实际上是不可能的。

为什么“可能无法合理证明”？为什么这个陈述不在概率论中的Borel定理列表中？

数学真理是尖锐的，而不是模糊的。假设每个数学陈述要么是真的要么是假的（即使没有人能够决定），而不是“基本上是真的”、“对于所有实际目的来说都是真的。如果n个头部伸出n个时间对于n个=1000，则必须存在最少的此类n个（无论是否知道）。比如说，665个头部可以出现，但666个头部不能出现。然后，假设665个头像刚刚出现，我们可以看到下一次尾巴是有保证的，这与假定的硬币无记忆行为相矛盾。

另一个例子。数字4可以写为单位之和：1+1+1+1。数字2可以吗¹⁰⁰⁰写为单位的总和？数学的答案是肯定的。的确，如果你能写，比如说，2⁶⁶⁵作为单位的总和，那么你可以做两次（用加号连接两个副本）。在现实世界中，对有限资源的抱怨是不合适的，在想象的、高度理想化的数学世界中也是不合适的。

已定义或未定义

事实是通过概念形成的。

在非公理方法中，概念是网络的节点，其连接是定义。如果忘记了某些概念，它们可能可以从其他概念中恢复过来。

在谷歌上搜索“define:line”，我们得到“没有宽度或厚度的长度”。类似地，我们递归地找到宽度、厚度等的定义。这样我们将得到一个大型子网；这是它的小碎片：

• 线条：没有宽度或厚度的长度
  • 长度：空间中的线性范围
    • 线性：沿直线↑
    • 范围：一系列位置
      • 位置：点或范围↑ 在太空中
    • 空间：万物所在的无限广阔↑
  • 宽度：范围↑ 从一边到另一边
    • 侧面：构成物体外部一部分的表面
      • 表面：延伸↑ 三维物体的二维外边界
  • 厚度：相对于其长度的对象尺寸↑ 或宽度
    • 宽度：范围↑ 从侧面↑ 到侧面↑

（向上箭头表示：见上文。）我们观察到

• 循环性常出现；例如：line→长度→线性的→线路；
• 单个概念的定义递归地涉及大量其他非常遥远的概念。

这种概念体系不适合于数学理论。在这里，不允许循环，并且所涉及的概念集保持相当小（只要可能）。（另请参见语义质数试图揭示所有自然语言背后常见的类似数学的结构。）

在公理化方法中，概念是一个定义概念的塔，建立在称为未定义基元的更基本概念的基础上。如果忘记了所有定义的概念，它们肯定可以从未定义的原语中恢复。未定义的基元是稀疏而简单的，不容忘记。

奇怪的是，当一本非数学百科全书包含一篇关于数学概念的文章时，可能会出现两种截然不同的“定义”，一种是一般的（非正式的），另一种是数学的（正式的）。

从现在起，在本文中，“定义”是指数学定义（除非另有明确说明）。

缺乏原始概念的定义并不意味着缺乏关于这个概念的任何信息。公理提供了这样的信息，用于证明。对原始概念的非正式（直觉）理解是用自然语言传达的。这些信息不能用于证明，但在猜测要证明什么、如何证明、如何应用已证明的定理以及（最后但并非最不重要的）公理假设什么时，这些信息很有用。

数学不是孤立的

计算机隐喻

概念隐喻有助于根据另一个概念域来理解一个概念领域。例如，桌面隐喻将计算机的显示器视为用户的桌面，这有助于不习惯计算机的用户。现在许多人对计算机比对数学更习惯。因此，用计算机进行类比可能有助于理解数学。下面广泛使用了此类类比。

灵活或不灵活

20世纪60年代，计算机是一个电子怪兽，能够从穿孔纸带中读取简单信息说明书由硬件规定并快速执行它们，从而执行大量无聊的计算。如今，一些家长抱怨个人电脑太吸引人了。然而，如果没有软件，个人计算机只能读取（例如从光盘）和执行硬件规定的指令。这些指令现在和以前一样是技术性的：简单的算术和逻辑运算、循环、条件执行等。计算机是迟钝的，无论是60年代的怪兽还是好看的个人计算机，除非程序员开发出这些技术指令的迷人组合（称为程序）。

对于程序员来说，给定计算机的指令集是一个不可变的列表。程序员不能向列表中添加新元素，也不能修改现有元素。从这个意义上说，指令集是不灵活的。新程序只是给定元素的新组合。这是否意味着程序开发很枯燥？绝对不会！一个好的指令集是通用的。这意味着，只要时间允许（通常是最有问题的），并且计算机的内存和速度足够高（通常问题较少），一个称职的程序员就可以很自由地实现任何理解良好的算法。从这个意义上说，一个好的指令集是非常灵活的。

同样，在给定理论中工作的数学家将其公理视为不可变列表。然而，这个列表可以是通用的，因为一个称职的数学家可以自由地表达任何明确的数学思想。在这个意义上，一些公理系统非常灵活。

通用或专用

对于用户来说，计算机软件首先是应用程序（游戏、网络浏览器、媒体播放器、文字处理器、图像编辑器等）的集合。所有应用程序都在操作系统（Windows、MacOS、Linux等）中运行。操作系统是各种专门应用程序背后的通用基础设施。每个应用程序都处理相关文件。操作系统通常维护文件，以及包含文件和可能的其他目录的目录（目录）。

同样集合论是各种专业数学理论（代数、几何、分析等）背后的通用基础设施。每个专业数学理论都处理相关的对象、关系和集合。集合论处理的是套一般来说，可能包含其他集合，并将对象和关系简化为集合。或者，高阶逻辑可以用作这样的通用基础设施，更方便计算机辅助数学形式化。此外范畴理论假装是集合论的王位。

在许多情况下，专门的数学理论是某种数学结构的理论，通常称为空格（这类）。例如：欧几里德几何是欧几里得空间的理论；拓扑是拓扑空间的理论；线性代数是线性空间的理论。微分几何研究光滑流形。代数研究群、环、域等。

有动机或滥杀滥伤

猴子可以在电脑中输入一系列硬件指令；计算机可以执行它们；但这种“编程”的结果几乎没有机会变得迷人或有用。迷人的电脑游戏反映了人类的偏好。有用的程序反映了人类的需求。除非计算机的软件以这样或那样的方式反映了人类的生活，否则它对人类来说是乏味的。

同样，除非一个定理是由人类生活以某种方式驱动的，否则它对人类毫无意义。动机可能是间接的；许多定理“仅”有助于证明其他定理，许多定理“只”因其美学价值而被欣赏，等等。但某种动机是必要的。公理的逻辑结果的无差别流在数学文献中是无法发表的。

注意，“定理”并不意味着“动机定理”、“重要定理”等，甚至也不意味着“已经发现的定理”。所有的定理都只是公理的逻辑结果的滥杀滥伤流。

根据定义，理论的定理是根据给定规则（不同作者称之为推理规则、推导规则、演绎规则、转换规则）从给定公理中得出的语句，包括公理本身。

从技术到人类：定义

裸硬件和优秀应用程序之间的差距太大，不适合单跳，甚至三跳（硬件-操作系统-编程语言-应用程序）。对于许多程序员来说，弥合差距是一项艰巨的任务。它们组成模块程序和子程序模块。每个子例程都将更有用的任务简化为更简单的任务。最终，一项有用的（甚至引人入胜的）任务被简化为裸硬件的技术说明。

同样，数学家通过一个庞大而复杂的定义系统，弥合了有用概念（例如，“椭圆”或“正态分布”）和未定义原语之间的巨大差距。每个定义都将更有用的概念简化为更原始的概念。

数学定义非常多样化。

定义可能只是单个计算的局部缩写，如：“表示方便${\显示样式x^{2}+x+1}$通过${\显示样式a}$我们有。。。".

一个单一的定义可以将整个专门的数学理论嵌入到通用集合理论框架中，如下所示：

根据定义，欧几里德空间由三个集合组成，其元素分别称为点、线和平面，以及六个关系，一个称为介数，三个称为包含，两个称为同余，满足以下条件：

给出一个定义主要是为了更简明扼要地讲，比如：“在三角形中，一个顶点的高度，根据定义，是它与穿过其他两个顶点的直线的距离”。

定义可能会引入一个新的革命性概念，如：“根据定义，函数在某一点的导数是比值的极限……”

一些数学家会告诉你，他们研究的主要目的是找到正确的定义，然后他们的整个领域就会被照亮。。。对于其他数学家来说，定义的主要目的是证明定理。。。

原则和实践

严格或直觉

数学作为一种文化过程，不受单调逻辑的约束。例如，直到1872年，人们一直认为这是一个直观的明显事实，即平面上的任何曲线都有一条切线，除了可能是一组离散的点。然而，这一“事实”被驳斥和撤回。

一个世纪后，我们看到了如此多的这种怪物，以至于我们变得有点厌倦了。但对19世纪大多数数学家产生的影响从厌恶到惊恐不等。

从那时起，直觉就不再是数学证明中的有效论点。数学理论受单调逻辑的约束。如果需要，数学作为一种文化过程可以从整体上收回公理理论（而不是一些定理），并接受另一种公理理论。（此外，从长远来看，公理方法可能会被放弃。）

正式或正式

举个例子。如果${\显示样式a^{2}+2b^{2{=1}$然后${\显示样式a^{4}+4b^{4{=（1-2ab）（1+2ab）}$，自${\显示样式a^{4}+4b^{4{=a^{4]+4a^{2} b条^{2} +4b个^{4} -4a^{2} b条^{2} =（a^｛2｝+2b^｛2｝）^{2} -4a类^{2} b条^{2} =1-4a^{2} b条^{2} =（1-2ab）（1+2ab）}{2} b条^{2} +4b个^{4} -4a^{2} b条^{2} =（a^｛2｝+2b^｛2｝）^{2} -4a类^{2} b条^{2} =1-4a^{2} b条^{2} =（1-2ab）（1+2ab）}$这个简单的代数论点可以被人甚至计算机检查。无需理解声明的含义；了解相关的形式规则就足够了。该陈述仅严格遵循给定的规则，没有显式或隐式地使用直觉。一个形式化的证明保证了一个定理永远不会被收回。

格特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）在1685年左右构思的一种通用形式语言，

能够毫不含糊地表达所有人的想法，加强我们的推理能力，通过纯粹的机械注意力避免错误

两个世纪后，它在数学中部分实现，尤其是作为集合论的形式语言。在布尔巴吉介绍的形式中，这种语言包含四个逻辑符号、三个特定符号和字母。它的规则比初等代数复杂得多。

然而，这种形式语言从未被典型的数学家使用过。同样，大多数程序员从不使用计算机硬件的指令。相反，他们用适当的编程语言（BASIC、Java、C++、Python等）开发应用程序。一种编程语言的语句通常对应于许多硬件指令；通信由特殊程序（编译程序和解释程序）建立。编程语言适合程序员，硬件指令适合硬件。

数学文本语言（书籍和文章）和集合论形式语言之间的差距甚至比编程语言和硬件指令之间的差距还要大。它与伪代码和图灵机之间的差距一样大。

程序员在编写程序时，知道计算机完全按照指令行事。相比之下，作者或演讲者在与他人交流时，可能会模棱两可，犯一些小错误，但仍希望别人能理解。伪代码是对算法的描述，旨在供人类阅读，任何有能力的程序员都可以将其转换为代码。代码是正式的；伪代码是可形式化的。

同样，数学家之间的交流也是用形式化语言进行的。

实际上，数学家。。。他很满足于把这个解释带到这样一个地步：他的经验和数学天赋告诉他，翻译成正式语言只不过是一种耐心的练习（尽管这无疑是一种非常乏味的练习）。

使用形式化语言的数学家不需要知道底层形式语言的所有技术细节。许多等价的形式语言可以互换使用。同样，在用不同的编程语言进行编码时，可以使用单个伪代码，只要它们彼此之间距离不太远。

公理化或公理化

两个有限的向量列表（通过求和）生成相同的无限向量集。类似地，不同的公理有限列表可以用于生成相同的无限定理集。

在公理理论中工作的数学家不需要记住公理列表的全部细节。记住包含所有公理的定理列表就足够了，或者更一般地说，每个公理都很容易从这些定理中得到。（这里，像往常一样，将“定理”包括在内，作为“公理和定理”。）

如果每个列表中的每个公理都遵循另一个列表中的公理，则两个公理列表被称为等价的。这些公理列表可以互换使用，因为它们产生了相同的定理。

一些细节

一致或不一致

如果一个理论说2+2=5，这是一个悖论，但还不是矛盾。人们所说的“悖论”可能是指

• 矛盾；
• 明显的矛盾；
• 违反直觉的东西；
• 令人惊讶的事情；
• 讽刺；

相反，矛盾（在数学理论中）根据定义是一对定理（关于给定理论），其中一个是另一个的否定。因此，有两个定理

${\显示样式2+2=4，}$

${\显示样式2+2=5}$

仍然不矛盾。两个定理

${\显示样式2+2=4，}$

${\显示样式2+2\neq 4}$

是矛盾的。

如果给定的理论中存在矛盾，则该理论称为不一致。否则，如果不存在矛盾（而不仅仅是目前没有发现），该理论就被称为一致性理论。

对于一个数学家来说，不一致的理论是完全无用的。一些哲学家不同意：

数学家面对矛盾时的迷信恐惧和崇敬

但一位数学家坚持认为：不一致的理论是完全无用的，因为全部的语句（用给定的语言）就是定理！原因是，矛盾证明。无论哪种说法X有疑问，我们总能证明X如下：

• 假设X为假；
• ……（把矛盾的证据放在这里）；
• 这种假设导致了矛盾，因此X是真的。

人们很容易反对矛盾与假设没有任何共同之处，因此不能使其无效。然而，形式逻辑的规则并不要求矛盾与假设有共同之处。有人试图改变这些规则（所谓的“关联逻辑”或“相关逻辑”），但收效甚微。总是有可能混淆矛盾的证明，使其看起来与X。我们没有正式的标准能够揭露任何可能的虚假参与X在矛盾的证明中。

大卫·希尔伯特（David Hilbert）的目标是找到适用于所有数学的公理，并从“有限算术”（被选为哲学上无争议的正整数常用算术的子系统）是一致的假设中证明它们的一致性。第二个哥德尔队受到致命一击不完全性定理一个理论的一致性不能用较弱的理论来证明，也不能用相同的理论来证明。它可以被一个更强大的理论所证明，而这个理论并不能消除人们的疑虑：如果给定的理论不一致，那么更强的理论就更加不一致，可以证明每一个主张，无论是真是假。

许多数学家认为，专业理论比普遍理论更可靠，就像密封舱。如果在所使用的普遍性理论中发现矛盾，专门性理论就会分离，等待更好的普遍性学说。

我一直觉得，如果有一天有人在数学上提出了一个矛盾，我会说，“好吧，那些疯狂的逻辑学家又在做这件事了”，然后像我前一天一样继续我的工作。

单价或多价

平面几何（也称为“平面几何”）是实体几何的一部分，它将自身限制在作为几何宇宙处理的单个平面（“平面”）内。“哪个平面？”这个问题是不合适的，因为平面的几何性质没有区别。每两个平面α、β都是同构的，即存在一个同构（f）在α和β之间。将α和β视为点集，我们将同构定义为可逆（一对一和到上）映射（f） : α → β保持所有原始关系。即：（f）将线条映射为线条；之间的距离（f）(A类)和（f）(B类)关于β等于A类和B类关于α；等等。反向映射也是如此${\显示样式f^{-1}:\beta\to\alpha}$.

平面的公理欧几里德几何并没有留下自由，它们唯一地决定了平面的所有几何性质。更确切地说：所有欧几里德平面都是相互同构的。在这个意义上，我们有“欧几里德平面”。就布尔巴吉而言，飞机欧几里德几何是一种单价理论。相反，线性空间（也称为向量空间）的公理留下了自由：线性空间可以是一维、二维、三维、四维等等（也可以是无限维）。线性代数是多价的。

拓扑公理留下了更多的自由；（比如）平面的每一个子集都是拓扑空间的一个例子，无论它是连通的还是非连通的，紧凑的还是非紧的，不管它是曲线、域、分形还是其他什么；所有这些仍然是所有拓扑空间中的少数。拓扑是多价的。

布尔贝吉认为，对多元理论的研究是现代数学区别于古典数学的最显著特征。

数学逻辑中也有类似的想法：如果一个理论的所有模型都是相互同构的，那么这个理论就称为范畴理论。然而，对于布尔贝吉来说，理论嵌入到集合论中，而在逻辑中，理论是独立的（嵌入到一阶逻辑中）。

完整或不完整

如果一个理论的语言中的每一句话都能被证明或反驳，那么这个理论就是完整的。换句话说：如果这样的陈述不是一个定理，那么它的否定必然是一个定理。

在这个理论中，如果一个语句（用给定理论的语言）不是定理，而且它的否定也不是定理，那么它就被称为独立的（换句话说，不可判定的）语句。

独立的陈述在多价理论中自然出现。例如，在线性代数中，“三个向量不能线性独立”这句话既不能证明也不能反驳，因为线性空间的维数可以是2或3（或其他任何东西）。因此，多价理论通常是不完整的。

单价理论呢？看起来，这些应该是完整的。例如，平面欧几里德几何应该证明欧几里得平面上的所有几何语句，并且只证明此类语句。同样，自然数的算术应该证明关于自然数的所有真正的算术陈述，而且只有这些。出乎意料的是，情况远比这些天真的想法复杂第节。4.7.

定义：缩写或扩展

根据第节。2.4，定理是公理的逻辑推论。然而，定义又是什么呢？根据第节。2.5两种可能的定义方法对这个问题的回答不同，无论它们是否属于形式理论。

一种方法将定义视为缩写，在形式化语言中使用，并在翻译为形式化语言时消除。因此，形式理论只包含原始概念和公理，而不包含定义。

根据另一种方法，每个定义都扩展了形式理论。新（扩展）理论又包含了一个概念和一个公理。非正式地说，新概念只是定义，而新公理只是定义。但从形式上讲，新理论仍然只包含原始概念和公理，而不包含定义。

举个例子。

定义：质数是正好有两个除数的自然数。（当然，这是1和数字本身。）

定理：素数无穷多。

第一种方法（缩写）。在形式语言中，“素数”的概念被删除了，如下所示。定理：有无穷多个自然数正好有两个除数。证明也不涉及“素数”的概念。

第二种方法（扩展）。新形式理论规定了一个新的原始概念“素数”和一个新公理：一个自然数是素数，当且仅当它正好有两个除数。这个公理用于定理的证明。

在现实中或原则上可以形式化

整数1是一个可以用集合论语言定义的数学对象的非常简单的例子。它的定义被视为一种缩写（而非扩展），可以从这种形式化语言翻译成任何相应的形式语言，特别是由布尔巴吉引入的形式语言。然而，得到的形式定义的长度等于4523659424929。这将需要大约4000 GB的计算机内存！更复杂的数学定义要长得多。显然，这种形式化仅在原则上可行，类似于编写2的可能性¹⁰⁰⁰作为单位的总和。

由于替换的原因，这种形式语言非常冗长。下面是一个代数示例：替换${\显示样式x=（a+1）/（a^{2}+1）}$进入之内${\显示样式（x^{2} -x个+1） /（x^{2}+x+1）}{2} -x个+1） /（x^{2}+x+1）}$给出了一个长度为64的表达式，包含8次一.此外，替换${\显示样式a=u^{3} -2件^{2} -3件+4｝{3} -2件^{2} -3件+4｝$然后得到一个长度为152的表达式，其中包含24次u个等等。

有一些用于实际应用的正式数学语言，例如，米扎尔它们将定义视为扩展。

生成所有定理；可判定或不可判定

列出所有定理是不可能的，因为它们是无限多的。然而，无止境的算法过程可以生成定理，只生成定理，以及迟早会生成每个定理的意义上的所有定理。用更专业的话来说：所有定理的集合都是可递归枚举的。一些理论有无限多的公理，这些公理是由所谓公理图式的有限列表生成的。尽管如此，所有定理集都是可递归枚举的，因为公理集是。

开放式问题（在数学理论中）是既没有被证明也没有被否定的陈述。有可能（原则上，不一定在实践中）运行生成理论的算法，等待两个事件中的一个：要么给定的语句看起来是定理，要么它的否定是定理；在这两种情况下，（以前的）未决问题都已决定。如果理论是完整的，这迟早会发生。

如果存在一个算法，给定一个任意语句（用理论的语言），该算法决定了它是否是一个定理，则该理论称为可判定理论。（用更专业的话来说：如果所有定理集都是递归的。）

上述论点表明，一个完整的理论是可以判定的。

像水晶球一样的理论？

想象一下，一个理论能够描述整个离散数学（集合论？），或者至少可以描述任意算法计算，换句话说，可以描述形式化机器（如计算机，但具有无限资源）。假设这些定理包括关于这些机器的所有正确陈述，并且没有关于它们的错误陈述。然后，正式机器可以将此理论用作“水晶球”，用于预测任何正式机器的未来。特别是，为了决定一台给定的机器是最终停止，还是永远运行（所谓的停顿问题). 为此，它运行理论生成算法，直到“这样的机器最终停止”或其否定出现在定理中。

为了预测正式机器Y的未来，正式机器X需要Y的代码。这并不意味着Y的代码必须内嵌在X的代码中（因此比X短）。相反，X可以生成Y的代码，这样，一台机器X可以预测无限多机器Y的将来，而且，所有可能的机器Y，在无尽的循环中生成它们的代码。

X能预测自己的未来吗？上述论点似乎确保了肯定的答案。然而，X如何知道哪个Y与X相同？换句话说，X如何知道（也就是说，能够生成）自己的代码？

众所周知，一些程序，即所谓的奎因程序，可以生成自己的文本。（另请参见停顿问题。）这看起来可能是一个技巧，但实际上它是一种自我复制的形式，它使用4×10⁹年专利生活：细胞利用其DNA复制自身，也复制DNA自身。

使用奎因技术，一台机器X可以预测自己的未来。这是矛盾的吗？似乎没有，因为X是一台确定性机器，它没有自由意志。但不管怎样是自相矛盾，因为我们可以编程X如下：

• 预测你自己的未来：你最终会停下来，还是永远跑下去；
• 如果预测到“暂停”，则进入无限循环；
• 否则（如果预测为“永远运行”），则停止。

我们得到了一个悖论，这意味着本节开头所做的假设无法满足。公理化理论不能使其定理包含所有关于形式机的正确陈述，而不包含关于它们的错误陈述！这个重要结论与著名的哥德尔定理密切相关。

工具书类

埃米尔·博雷尔（1962），概率和寿命，多佛公共。（翻译）.

尼古拉斯·布尔巴吉（1968），数学基础：集合论、赫尔曼（原文）、艾迪森·韦斯利（翻译）.

Casacuberta，C&M Castellet，eds.（1992），今天和明天的数学研究：七位菲尔兹奖得主的观点《数学课堂讲稿》，第1525卷，施普林格-弗拉格出版社，国际标准图书编号3-540-56011-4.

理查德·费曼(1995),物理定律的性质（第二十二版印刷版），麻省理工学院出版社，国际标准图书编号0 262 56003 8.

Timothy Gowers编辑（2008），普林斯顿数学伙伴普林斯顿大学出版社，国际标准图书编号978-0-691-11880-2.

Lawvere，F.William和Robert Rosebrugh（2003），数学集合剑桥大学出版社，国际标准图书编号0-521-80444-2.

阿德里安·马蒂亚斯（2002），“一个长度为4523659424929的术语",合成 133 (1/2): 75–86.（同时在这里.)